Um prisma pentagonal regular tem
de altura, sendo
a medida da aresta da base. Calcule a área lateral, área total e o volume deste prisma.
Passo 1
Dados que o enunciado fornece:
O que o enunciado pede:
- Calcular a área lateral do prisma.
- Calcular a área total do prisma.
- Calcular o volume do prisma.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o perímetro da base, porque a área lateral de um prisma reto é o perímetro da base multiplicado pela altura. Para um polígono regular de
lados com lado
temos
. Aqui
, então
Passo 3
Fórmula da área lateral do prisma e cálculo direto. A área lateral
de um prisma reto é a soma das áreas das faces laterais, que são retângulos de largura igual aos lados da base e altura igual à altura do prisma. Assim:
Substituindo os valores encontrados:
Explicação rápida: imagine “desenrolar” as faces laterais do prisma — vira um retângulo cujo comprimento é o perímetro da base e cuja largura é a altura do prisma.
Passo 4
Agora precisamos da área da base (um pentágono regular). Vou apresentar uma forma prática e bem usada: área de um polígono regular com
lados de comprimento
pode ser escrita usando o apótema
como
Para um polígono regular, o apótema pode ser obtido por geometria do triângulo isósceles formado ao dividir o polígono em
triângulos congruentes. A relação entre o apótema
, o lado
e
é
Aqui
, então
Passo 5
Substituímos
em
. Usamos o valor trigonométrico numérico
. Então
Agora a área da base usando
com
:
Passo 6
Observação alternativa (útil para a prova): existe fórmula direta em função de
e
:
Para
e
obtemos numericamente o mesmo resultado que calculamos via apótema:
onde usamos
.
Passo 7
Área total do prisma: soma da área lateral com as duas bases. Fórmula:
Substituindo os valores numéricos:
Arredondando convenientemente (duas casas decimais) fica
.
Passo 8
Volume do prisma: base vezes altura. Fórmula:
Substituindo:
Arredondando (duas casas decimais):
.