Um prisma pentagonal regular tem 8 c m de altura, sendo 7 c m a medida da aresta da base. Calcule a área lateral, área total e o volume deste prisma.

Passo 1

Dados que o enunciado fornece:
\text{altura do prisma } h = 8\\ \text{cm}
\text{aresta da base (lado do pentágono regular) } a = 7\\ \text{cm}á
\text{a base é um pentágono regular (ou seja, 5 lados iguais)}éá
O que o enunciado pede:
  • Calcular a área lateral do prisma.
  • Calcular a área total do prisma.
  • Calcular o volume do prisma.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o perímetro da base, porque a área lateral de um prisma reto é o perímetro da base multiplicado pela altura. Para um polígono regular de n lados com lado a temos P = n\cdot a. Aqui n=5, então
P = 5\cdot a = 5\cdot 7 = 35\\ \text{cm}.

Passo 3

Fórmula da área lateral do prisma e cálculo direto. A área lateral A_{\text{lat}} de um prisma reto é a soma das áreas das faces laterais, que são retângulos de largura igual aos lados da base e altura igual à altura do prisma. Assim:
A_{\text{lat}} = P\cdot h.
Substituindo os valores encontrados:
A_{\text{lat}} = 35\\ \text{cm}\cdot 8\\ \text{cm} = 280\\ \text{cm}^2.
Explicação rápida: imagine “desenrolar” as faces laterais do prisma — vira um retângulo cujo comprimento é o perímetro da base e cuja largura é a altura do prisma.

Passo 4

Agora precisamos da área da base (um pentágono regular). Vou apresentar uma forma prática e bem usada: área de um polígono regular com n lados de comprimento a pode ser escrita usando o apótema r como
A_{\text{base}} = \frac{P\cdot r}{2}.
Para um polígono regular, o apótema pode ser obtido por geometria do triângulo isósceles formado ao dividir o polígono em n triângulos congruentes. A relação entre o apótema r, o lado a e n é
r = \frac{a}{2\tan\!\bigl(\frac{\pi}{n}\bigr)}.
Aqui n=5, então
r = \frac{a}{2\tan\!\bigl(\frac{\pi}{5}\bigr)}.

Passo 5

Substituímos a=7\\ \text{cm} em r. Usamos o valor trigonométrico numérico \tan\!\bigl(\frac{\pi}{5}\bigr)=\tan(36^\circ)\approx 0,7265425280. Então
r \approx \frac{7}{2\cdot 0,7265425280} = \frac{7}{1,4530850560}\approx 4{,}818\\ \text{cm}.
Agora a área da base usando A_{\text{base}}=\dfrac{P\cdot r}{2} com P=35\\ \text{cm}:
A_{\text{base}} \approx \frac{35\cdot 4{,}818}{2} = \frac{168{,}63}{2}\approx 84{,}3033926\\ \text{cm}^2.

Passo 6

Observação alternativa (útil para a prova): existe fórmula direta em função de a e n:
A_{\text{base}}=\frac{n a^2}{4}\cot\!\bigl(\tfrac{\pi}{n}\bigr).
Para n=5 e a=7 obtemos numericamente o mesmo resultado que calculamos via apótema:
A_{\text{base}}=\frac{5\cdot 7^2}{4}\cot\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr) =\frac{245}{4}\cot\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr) \approx 84{,}3033926\\ \text{cm}^2,
onde usamos \cot\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr)=\dfrac{1}{\tan(\pi/5)}\approx 1{,}3763819204.

Passo 7

Área total do prisma: soma da área lateral com as duas bases. Fórmula:
A_{\text{total}} = A_{\text{lat}} + 2\cdot A_{\text{base}}.
Substituindo os valores numéricos:
A_{\text{total}} \approx 280 + 2\cdot 84{,}3033926 = 280 + 168{,}6067852 \approx 448{,}6067852\\ \text{cm}^2.
Arredondando convenientemente (duas casas decimais) fica \approx 448{,}61\\ \text{cm}^2.

Passo 8

Volume do prisma: base vezes altura. Fórmula:
V = A_{\text{base}}\cdot h.
Substituindo:
V \approx 84{,}3033926\\ \text{cm}^2 \cdot 8\\ \text{cm} \approx 674{,}4271408\\ \text{cm}^3.
Arredondando (duas casas decimais): \approx 674{,}43\\ \text{cm}^3.

Resposta

A_{\text{lateral}} = 280\\ \text{cm}^2
A_{\text{total}} \approx 448{,}61\\ \text{cm}^2
V \approx 674{,}43\\ \text{cm}^3

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