Calcule as medidas descritivas (posição central e dispersão vistas em aula) das variáveis ‘tam.’ e ‘renda’ por ‘local’ da aba ‘dados’ 2) Discuta os resultados.

Passo 1

O enunciado pede: calcular as medidas descritivas (medidas de posição central e de dispersão vistas em aula) das variáveis ‘tam.’ e ‘renda’ agrupadas por ‘local’ na aba chamada “dados”. Ou seja, para cada valor distinto de \text{local} deve-se obter as medidas pedidas separadamente para a variável \text{tam.} e para a variável \text{renda}.
Informações dadas no enunciado:
  • Existem duas variáveis de interesse: \text{tam.} e \text{renda}.
  • Há uma variável de agrupamento: \text{local}.
  • Os dados estão na aba/planilha chamada “dados”.
  • O enunciado solicita tanto medidas de posição central quanto medidas de dispersão “vistas em aula” (vou assumir as mais comuns: média, mediana, moda para posição; variância, desvio padrão, amplitude, e intervalo interquartílico para dispersão — explico e uso todas elas).
Observação importante: a tabela/planilha real (os valores das observações) não foi fornecida. Sem os dados não é possível calcular números exatos. A partir do Passo 2 eu explico passo a passo como calcular, dou fórmulas, mostro um exemplo numérico ilustrativo e explico como interpretar os resultados quando você tiver a planilha.

Passo 2

Lista das medidas que vamos calcular (explicando brevemente o que cada uma mede):
  • Medidas de posição central:
    • Média aritmética \bar{x}: valor “médio” das observações.
    • Mediana \tilde{x}: valor central quando os dados estão ordenados (robusta a outliers).
    • Moda: valor que ocorre com maior frequência (pode não existir ou haver várias).
  • Medidas de dispersão:
    • Amplitude: \text{max} - \text{min}.
    • Variância amostral s^{2} e desvio padrão s: quantificam quanto, em média, as observações se afastam da média. Usamos o divisor n-1 para amostras (estimador sem viés).
    • Intervalo interquartílico (IQR): Q_{3} - Q_{1} (diferença entre terceiro e primeiro quartis), robusto a outliers.
    • Coeficiente de variação CV: CV = \dfrac{s}{\bar{x}}\times 100\% (expressa dispersão relativa, útil para comparar variabilidade entre variáveis com unidades/escalas diferentes).

Passo 3

Fórmulas e explicação detalhada (cada símbolo explicado):
  • Seja um grupo (um valor de \text{local}) com n observações x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} da variável (p.ex. \text{tam.} naquele local).
  • Média aritmética: \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}.Aqui \bar{x} é a soma de todos os x_{i} dividida por n. Serve para dizer o “nível médio”.
  • Variância amostral (estimador sem viés): s^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\bar{x})^{2}.Explicação: calcula as diferenças de cada observação para a média, eleva ao quadrado (para não cancelar sinais), soma e divide por n-1 (graus de liberdade), dando a variância. O desvio padrão é s = \sqrt{s^{2}}.O desvio tem as mesmas unidades que x e é mais interpretável que s^{2}.
  • Mediana \tilde{x}: ordenar x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(n)}.
    • Se n ímpar, \tilde{x} = x_{(\frac{n+1}{2})}.
    • Se n par, \tilde{x} = \dfrac{x_{(\frac{n}{2})} + x_{(\frac{n}{2}+1)}}{2}.
  • Quartis Q_{1}, Q_{3} e IQR:
    • Q_{1}: mediana da metade inferior (não incluindo a mediana central se n ímpar).
    • Q_{3}: mediana da metade superior.
    • \text{IQR} = Q_{3} - Q_{1}.
  • Amplitude: \text{amplitude} = x_{(n)} - x_{(1)} = \max(x_{i}) - \min(x_{i}).
  • Moda: valor x com maior frequência de ocorrência no grupo.
  • Coeficiente de variação: CV = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.Interpretação: quanto da média é “variabilidade”; permite comparar dispersões entre variáveis com médias muito diferentes.

Passo 4

Como aplicar isso “por local” (procedimento passo a passo que você pode seguir na planilha):
  1. Para cada valor distinto de \text{local}:
    a. Selecione todas as observações cujo campo \text{local} é aquele valor.
    b. Tome as colunas \text{tam.} e \text{renda} separadamente.
    c. Calcule para cada variável as medidas da Passo 3: \bar{x}, \tilde{x}, moda, s^{2}, s, amplitude, Q_{1}, Q_{3}, IQR, CV.
  2. Anote o tamanho do grupo n (importante: medidas de dispersão são menos confiáveis quando n é muito pequeno; com n \le 3 algumas medidas ficam pouco informativas).
  3. Se houver valores ausentes (NA), remova-os do cálculo do grupo (ou documente quantos NA havia). Não calcule com NA incluídos.
Dica rápida para Excel / Google Sheets:
  • Média: =AVERAGE(range)
  • Mediana: =MEDIAN(range)
  • Moda: =MODE.SNGL(range) (ou MODE.MULT em versões que retornam várias)
  • Amplitude: =MAX(range)-MIN(range)
  • Variança amostral: =VAR.S(range)
  • Desvio padrão amostral: =STDEV.S(range)
  • Quartis: =QUARTILE.INC(range,1) e =QUARTILE.INC(range,3)
  • CV: calcular =STDEV.S(range)/AVERAGE(range)
Dica rápida para R:
  • Use dplyr: dados %>% group_by(local) %>% summarise(n = n(), mean = mean(tam., na.rm=TRUE), sd = sd(tam., na.rm=TRUE), median = median(tam., na.rm=TRUE), IQR = IQR(tam., na.rm=TRUE), …)
    (ajuste para renda separadamente).

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (grupo hipotético) — faço passo a passo para que você veja as contas manuais. Grupo: variável \text{tam.} com observações
8,\\\ 10,\\\ 12,\\\ 9,\\\ 11.
  • n = 5.
  • Média: \bar{x} = \frac{8+10+12+9+11}{5} = \frac{50}{5} = 10.
  • Ordenando: 8,9,10,11,12. Mediana: \tilde{x} = 10.
  • Moda: não há valor repetido, logo “sem moda” (ou multimodal vazia).
  • Amplitude: \text{amplitude} = 12-8 = 4.
  • Desvio em relação à média: x_{i}-\bar{x} = -2,0,2,-1,1. Quadrados: 4,0,4,1,1. Soma dos quadrados =10.
  • Variância amostral: s^{2} = \frac{10}{n-1} = \frac{10}{4} = 2{,}5.
  • Desvio padrão: s = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58.
  • Quartis: metade inferior 8,9 Q_{1} = \dfrac{8+9}{2} = 8{,}5. Metade superior 11,12 Q_{3} = \dfrac{11+12}{2} = 11{,}5. \text{IQR} = 11{,}5 - 8{,}5 = 3.
  • Coeficiente de variação: CV = \frac{1{,}58}{10}\times 100\% \approx 15{,}8\%.
Esse exemplo mostra em detalhe como fazer as contas manualmente; para \text{renda} o procedimento é o mesmo, só atenção às unidades (por ex. reais) e a possíveis outliers (valores de renda muito altos).

Passo 6

Outro exemplo rápido para \text{renda} (hipotético) para ver interpretação: observações
2000,\\\ 2500,\\\ 1800,\\\ 2200,\\\ 2400.
  • n=5. Soma = 2000+2500+1800+2200+2400 = 10\,900.
  • Média: \bar{x} = \frac{10\,900}{5} = 2180.
  • Ordenando: 1800,2000,2200,2400,2500. Mediana =2200.
  • Amplitude =2500-1800=700.
  • Desvios: -180,320,-380,20,220. Quadrados: 32\,400,\\\ 102\,400,\\\ 144\,400,\\\ 400,\\\ 48\,400. Soma dos quadrados =328\,000.
  • Variância amostral: s^{2} = \frac{328\,000}{4} = 82\,000.
  • Desvio padrão: s = \sqrt{82\,000} \approx 286{,}36.
  • Coeficiente de variação: CV = \frac{286{,}36}{2180}\times 100\% \approx 13{,}1\%.
  • Quartis (pela divisão usada antes): Q_{1}=1900, Q_{3}=2450, IQR=550.
Interpretação rápida do exemplo: média 2180 e mediana 2200 muito próximas → distribuição aproximadamente simétrica naquele pequeno conjunto. CV de 13{,}1\% indica variabilidade relativa moderada. IQR=550 mostra a dispersão central (mais robusta a outliers).

Passo 7

Como discutir/interpretar os resultados por local (o que observar ao comparar grupos):
  • Compare médias e medianas:
    • Se média >> mediana, sugere assimetria positiva (cauda à direita), possivelmente presença de outliers altos.
    • Se média << mediana, assimetria negativa.
    • Se média e mediana próximas, distribuição possivelmente simétrica.
  • Compare dispersões absolutas (desvio padrão, amplitude) e relativas ( CV):
    • Desvio maior: mais variabilidade absoluta; mas se médias são muito diferentes, prefira CV.
    • IQR menor: a “metade central” dos dados é mais concentrada.
  • Tamanho do grupo n: grupos muito pequenos tornam as medidas instáveis; com n pequeno prefira medidas robustas (mediana, IQR) em vez de média/desvio.
  • Outliers: identifique usando regra x < Q_{1} - 1{,}5\cdot\text{IQR} ou x > Q_{3} + 1{,}5\cdot\text{IQR}. Outliers podem inflar média e desvio.
  • Contexto prático: ao comparar dois locais, se um tem média de renda muito maior, mas CV também muito maior, isso indica desigualdade maior naquele local (maior variabilidade relativa).
  • Se a variável \text{tam.} (tamanho, supondo que seja algum tipo de medida como tamanho de família, área, etc.) for discreta ou com poucos valores distintos, a moda e medianas podem ser mais informativas que a média.

Passo 8

Como apresentar os resultados (formato sugerido):
  • Tabela por local com colunas: n, média \bar{x}, mediana \tilde{x}, moda, s, s^{2}, amplitude, Q_{1}, Q_{3}, IQR, CV.
  • Gráficos úteis por local:
    • Boxplot (caixa e bigodes) separado por local para ver mediana, IQR, outliers.
    • Gráfico de barras com médias e barras de erro (± s ou erro padrão) — cuidado ao usar erro padrão para descrever variabilidade dos dados (ele descreve precisão da média, não dispersão dos dados).
    • Histograma por local (se houver amostras suficientes) para ver distribuição.

Passo 9

Observações práticas e armadilhas comuns:
  • Verifique e trate valores faltantes (NA) e entradas escritas de forma inconsistente (ex.: “2.000” vs “2000”, texto em vez de número).
  • Decida e documente se vai usar variância/desvio populacional (divisor n) ou amostral (divisor n-1). Para amostras de dados de uma população, normalmente usa-se n-1.
  • Para renda é comum haver forte assimetria (alguns indivíduos com renda muito alta). Nesses casos a mediana e IQR mostram melhor o comportamento típico.
  • Para comparar mais formalmente diferenças entre locais, use testes estatísticos ou intervalos de confiança (mas isso já é além das medidas descritivas).

Passo 10

Resumo prático do que você deve fazer na sua planilha (checklist):
  • Para cada valor de \text{local}:
    • Calcule n.
    • Calcule \bar{x}, \tilde{x}, moda.
    • Calcule s^{2}, s.
    • Calcule Q_{1}, Q_{3}, \text{IQR}.
    • Calcule amplitude e CV.
    • Construa boxplot e/ou histograma por local.
    • Identifique outliers e veja se são erros de digitação ou observações válidas.
  • Interprete comparando posição central (média/mediana) e dispersão (IQR, s, CV) entre locais.

Passo 11

Motivação e incentivo (rápido e amigo): sei que a tarefa parece chata e que você está na correria para a prova — foque nas medidas mais úteis primeiro: mediana e IQR (se houver suspeita de outliers) e média e desvio padrão (se distribuição for aproximadamente simétrica). Faça um resumo por local com 4 números principais: \tilde{x} (mediana), \bar{x} (média), s (desvio padrão) e IQR. Isso já dá um panorama rápido e robusto para discutir em prova. Você consegue!

Passo 12

Restrição prática final: não há como calcular os valores numéricos pedidos porque a aba “dados” (a tabela com as observações de \text{tam.}, \text{renda} e \text{local}) não foi fornecida junto com o enunciado. Para obter os números exatos é necessário ter a planilha ou os dados da aba “dados”.

Resposta

Não é possível calcular as medidas pedidas porque a aba “dados” (os valores das observações de \text{tam.}, \text{renda} por \text{local}) não foi fornecida.

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