Nas funções f abaixo, calcule f^prime e f^prime prime, se existirem. f(x)=cos (x^2)x

Passo 1

Começando, a função dada é f(x)=cos(x^2)x. O objetivo é encontrar f'(x) e f''(x). Para isso, vamos usar a regra do produto, a regra da cadeia e a regra da soma. Note que o domínio é xneq0.

Passo 2

Reescrevo f(x) como produto: f(x)=cos(x^2)cdot x^-1. Defino u(x)=cos(x^2) e v(x)=x^-1. Derivo cada um: pela regra da cadeia, u'(x)=-2xsin(x^2), e pela regra de potência, v'(x)=-x^-2. Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
Substituindo em f'(x), obtenho
f'(x)=(-2xsin(x^2))cdot x^-1 + cos(x^2)cdot(-x^-2)
implies f'(x)=-2sin(x^2) - cos(x^2)x^2

Passo 3

Para a segunda derivada, começo de
f'(x)=-2sin(x^2) - x^-2cos(x^2)
Derivo termo a termo. No primeiro, uso cadeia:
ddx[-2sin(x^2)] = -2cdot2xcos(x^2) = -4xcos(x^2)
No segundo termo, trato como produto w=x^-2 e z=cos(x^2). As derivadas são w'=-2x^-3 e z'=-2xsin(x^2). Então
ddx[-wz] = -(w'z + wz') = 2x^-3cos(x^2) + 2x^-1sin(x^2)
Somando com o primeiro resultado, fica
f''(x) = -4xcos(x^2) + 2sin(x^2)x + 2cos(x^2)x^3

Resposta

f'(x) = -2sin(x^2) - cos(x^2)x^2, f''(x) = -4xcos(x^2) + 2sin(x^2)x + 2cos(x^2)x^3.

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