Calcule, por meio de resíduos, a integral
integralC 3 z^3+2 d z(z-1)(z^2+9)
onde C é tomada no sentido anti-horário em torno do círculo (a) |z-2|<2; (b) |z|<4 © |z+2|<2.

Passo 1

Estamos calculando a integral de contorno
integralC3z^3+2z(z-1)(z^2+9),dz
usando o Teorema dos Resíduos. Precisamos achar as singularidades de f(z), calcular os resíduos e depois somar apenas os que estão dentro de cada círculo C.

Passo 2

As singularidades de
f(z)=3z^3+2z(z-1)(z^2+9)
são polos simples em z=1, z=3i e z=-3i, pois cada fator do denominador se anula isoladamente.

Passo 3

Vamos calcular os resíduos simples:
Para z=1 usamos
Res(f,1)=3z^3+2zz^2+9g|z=1=3cdot1^3+2cdot11^2+9=510=12
Para z=3i usamos a fórmula Res(f,z0)=g(z0)h'(z0) com h(z)=(z-1)(z^2+9) ou diretamente:
Res(f,3i)=3(3i)^3+2(3i)(3i-1),2(3i) =-75i-18-6i=5+15i4
Para z=-3i analogamente:
Res(f,-3i)=3(-3i)^3+2(-3i)(-3i-1),2(-3i) =75i-18+6i=5-15i4

Passo 4

Agora aplicamos para cada círculo:
(a) Em |z-2|<2 só está dentro z=1, pois |1-2|=1<2 e |±3i-2|>2. Logo
integralCcdots dz=2pi icdotRes(f,1)=2pi icdottfrac12=pi i

Passo 5

(b) Em |z|<4 todos os polos z=1,3i,-3i estão dentro. A soma dos resíduos é
tfrac12+5+15i4+5-15i4=tfrac12+104=tfrac12+2.5=3
Logo
integralCcdots dz=2pi itimes3=6pi i

Passo 6

© Em |z+2|<2 nenhum polo está dentro (|1+2|=3, |±3i+2|=√13>2), então a integral é zero.

Resposta

(a) pi i; (b) 6pi i; © 0.

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