Calcule, por meio de resíduos, a integral
integralgamma 3 z^3+2 d z(z-1)(z^2+9),
onde gamma é tomada no sentido anti-horário em torno do círculo
|z-2|<2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno integralgamma 3z^3 + 2(z - 1)(z^2 + 9),dz, onde gamma é o círculo |z - 2| = 2 orientado anti-horário. O conteúdo é o Teorema dos Resíduos, e vamos precisar: localizar polos isolados de f(z)=3z^3+2(z-1)(z^2+9), identificar quais ficam dentro de gamma, calcular seus resíduos e usar integralgammaf(z),dz = 2pi i sum Res(f,polos dentro).

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os polos de f: são as raízes do denominador (z-1)(z^2+9)=0, ou seja z=1, z=3i e z=-3i.
Para saber quais estão dentro do círculo |z-2|<2, calculamos distâncias ao centro 2+0i:
|1-2|=1<2, |3i-2|=raiz4+9>2, |-3i-2|=raiz4+9>2

Passo 3

Logo, só o polo z=1 fica dentro de gamma. É um polo simples, pois aparece com expoente 1 no fator (z-1).
O resíduo em z=1 para um polo simples é
Res(f,1)=limzto1(z-1)3z^3+2(z-1)(z^2+9)=3cdot1^3+21^2+9=3+210=12

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos, a integral vale
integralgammaf(z),dz=2pi isumRes(f,dentro)=2pi icdot12=pi i

Resposta

pi i

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