Obtenha as soluções das seguintes EDOs:
y^prime=k x;

Passo 1

A questão dá uma EDO de primeira ordem do tipo y′=k x. Isso é uma derivada de y em relação a x igual a uma função simples de x. O conteúdo é integração de funções para encontrar a primitiva (anti-derivada). Vamos usar a regra básica de integração de potências.

Passo 2

Começo reescrevendo a equação e separando as variáveis implicitamente:
Temos a derivada de y em relação a x:
dydx=k,x
Para encontrar y, integro ambos os lados em relação a x.

Passo 3

Integro o lado direito usando a regra integral x^n dx = x^n+1/(n+1). Então:
integral dydx,dx = integral k,x,dx
O lado esquerdo vira y e o lado direito é
k integral x,dx = k cdot x^22 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Portanto, a solução geral da EDO é a função y dada por:
y(x)=k2x^2 + C

Resposta

y(x)=\frac{k}{2}x^2 + C

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