Obtenha as soluções das seguintes EDOs:
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Passo 1
A questão dá uma EDO de primeira ordem do tipo y′=k x. Isso é uma derivada de y em relação a x igual a uma função simples de x. O conteúdo é integração de funções para encontrar a primitiva (anti-derivada). Vamos usar a regra básica de integração de potências.
Passo 2
Começo reescrevendo a equação e separando as variáveis implicitamente:
Temos a derivada de y em relação a x:
Para encontrar y, integro ambos os lados em relação a x.
Passo 3
Integro o lado direito usando a regra
. Então:
O lado esquerdo vira
e o lado direito é
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Portanto, a solução geral da EDO é a função y dada por:
Resposta
y(x)=\frac{k}{2}x^2 + C