Calcule, por meio de resíduos, a integral
integralgamma 3 z^3+2 d z(z-1)(z^2+9),
onde gamma é tomada no sentido anti-horário em torno do círculo
|z|<4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno anti-horária sobre |z|<4 da função f(z)=3z^3+2z(z-1)(z^2+9). Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral vale 2pi i vezes a soma dos resíduos de f nos polos simples internos ao contorno.

Passo 2

Identificamos os polos de f pelas raízes do denominador: z=1 e z^2+9=0 z=3i e z=-3i. Todos estão dentro de |z|<4 e são simples.

Passo 3

Para um polo simples z0, . Primeiro em Res(f,z0)=limzto z0(z-z0)f(z):

Passo 4

Agora em z=3i:
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado Res(f,3i)=limzto3i(z-3i)(3z^3+2z)(z-1)(z+3i)(z-3i) =3(3i)^3+2(3i)(3i-1)(3i+3i) =-75i-18-6i , obtemos

Passo 5

Para z=-3i a função é a conjugada do caso anterior (pela simetria), logo

Passo 6

Somando os resíduos:
tfrac12+l(tfrac54+tfrac154ir)+l(tfrac54-tfrac154ir) =tfrac12+tfrac52=3

Passo 7

Pelo Teorema dos Resíduos, a integral é 2pi i vezes essa soma, portanto, a integral é 6pi i.

Resposta

6\pi i

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