Calcule, por meio de resíduos, a integral
onde
é tomada no sentido anti-horário em torno do círculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno anti-horária sobre
da função
. Vamos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que a integral vale
vezes a soma dos resíduos de
nos polos simples internos ao contorno.
Passo 2
Identificamos os polos de
pelas raízes do denominador:
e
dá
e
. Todos estão dentro de
e são simples.
Passo 3
Para um polo simples
, . Primeiro em
:
Passo 4
Agora em
:
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
, obtemos
Passo 5
Para
a função é a conjugada do caso anterior (pela simetria), logo
Passo 6
Somando os resíduos:
Passo 7
Pelo Teorema dos Resíduos, a integral é
vezes essa soma, portanto, a integral é
.
Resposta
6\pi i