Encontre o conjunto solução das equações para s in C.
1+s+s^2+s^3+s^4+s^5=0

Passo 1

O enunciado pede para achar todas as soluções em C da soma 1 + s + s^2 + s^3 + s^4 + s^5 = 0. O conteúdo aqui é soma de uma sequência geométrica e raízes da unidade de ordem 6.

Passo 2

Usamos a fórmula da soma dos primeiros 6 termos de uma progressão geométrica de razão s:
1 + s + s^2 + s^3 + s^4 + s^5 = s^6 - 1s - 1, s neq 1

Passo 3

Para que essa soma seja zero precisamos de
[
\frac{s^6 - 1}{s - 1} = 0 ;
\Longrightarrow; s^6 - 1 = 0 \quade\quad s \neq 1.

Passo 4

A equação s^6 = 1 tem como soluções as raízes sextas da unidade:
sk = e^2pi i k/6 = e^ipi k/3, k = 0,1,2,3,4,5

Passo 5

Como temos que excluir s = 1 (que corresponde a k=0) para não anular o denominador, restam as soluções com k = 1,2,3,4,5.

Resposta

O conjunto solução é e^ipi k/3:k=1,2,3,4,5.

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