Calcule, por meio de resíduos, a integral
integralgamma 3 z^3+2 d z(z-1)(z^2+9),
onde gamma é tomada no sentido anti-horário em torno do círculo
|z+2|<2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
integralgamma 3z^3 + 2(z-1)(z^2+9),dz, onde gamma é o círculo de centro -2 e raio 2, no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema dos Resíduos para isso.

Passo 2

Temos polos simples nas raízes do denominador, isto é em z=1, z=3i e z=-3i. Para aplicar o Teorema dos Resíduos, precisamos ver quais desses estão dentro de |z+2|<2.

Passo 3

Calculamos a distância de cada polo ao centro -2:
– Para z=1: |1+2|=3>2, fica fora.
– Para z=3i: |3i+2|=raiz2^2+3^2=raiz13>2, fica fora.
– Para z=-3i: |-3i+2|=raiz2^2+(-3)^2=raiz13>2, fica fora.

Passo 4

Como não há polos dentro de gamma, a soma dos resíduos das singularidades internas é zero. Pelo Teorema dos Resíduos,
integralgamma 3z^3 + 2(z-1)(z^2+9),dz = 2pi i times (soma dos resíduos internos) = 2pi i times 0 = 0í

Resposta

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