Encontre o conjunto solução das equações para s in C.
s^3=bars

Passo 1

O enunciado pede encontrar todos os números complexos sinC que satisfazem s^3=s. Vamos usar conceitos de forma polar de um complexo para separar módulo e argumento e resolver as equações resultantes.

Passo 2

Escrevemos s em forma polar com módulo r>=0 e argumento theta:
s = r,e^itheta,
Nesse caso temos
s = r,e^-itheta,
e
s^3 = r^3,e^i3theta

Passo 3

Igualando os módulos de s^3 e s, obtemos
|s^3| = r^3,
|s| = r,
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r^3 = r Longrightarrow r,(r^2 - 1) = 0 Longrightarrow r = 0 ou r = 1

Passo 4

Para o caso r = 1 (não trivial), igualamos os argumentos levando em conta que ângulos podem diferir de um múltiplo de 2pi:
3theta equiv -theta ; (bmod,2pi)
ou seja
4theta = 2kpi Longrightarrow theta = kpi2, k = 0,1,2,3

Passo 5

Juntando as soluções de módulo e argumento, temos:
  • Para r=0: s=0.
  • Para r=1 e theta = kpi/2: s = e^i kpi/2, ou seja 1,,i,,-1,,-i.

Resposta

0,,1,,i,,-1,,-i

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