Use as propriedades aritméticas dos limites para calcular, caso exista, lim n +infty an, sendo an igual a
sumk=0^n cos k pi

Passo 1

O enunciado pede para achar limnto+inftyan, onde an=sumk=0^ncos kpi. Vamos usar propriedades de limites e soma de progressão geométrica.

Passo 2

Observamos que cos(kpi)=(-1)^k, ou seja, a sequência de termos alterna entre 1 e -1. Logo, podemos escrever an=sumk=0^n(-1)^k, que é uma soma de progressão geométrica com razão -1.

Passo 3

Para somar a PG usamos a fórmula sumk=0^n r^k = 1 - r^n+11 - r. Substituindo r=-1 obtemos
sumk=0^n(-1)^k = 1 - (-1)^n+11 - (-1) = 1 + (-1)^n2

Passo 4

Assim an = 1+(-1)^n2, que vale 1 se n é par e 0 se n é ímpar, logo oscila entre esses valores sem convergir.

Resposta

O limite não existe, pois os valores de an alternam entre 1 e 0.

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