Calcule, por meio do teorema de Green, a circulação
\oint_{C} y^{2} d x+(x+y)^{2} d y
onde C é o triângulo de vértices (2,0),(2,2) e (0,2) e orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a circulação
\oint_{C}y^{2}\,dx+(x+y)^{2}\,dy
onde C é o triângulo de vértices (2,0), (2,2) e (0,2), orientado anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha num duplo integral sobre a região D limitada por C.

Passo 2

No Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA.
Aqui P(x,y)=y^2 e Q(x,y)=(x+y)^2. Então
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x+y)^2 =2(x+y), \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}y^2 =2y,
logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2(x+y)-2y =2x.

Passo 3

A região D é o triângulo com vértices (2,0), (2,2), (0,2). Note que a reta que liga (0,2) a (2,0) é y=2-x. Podemos então integrar em coordenadas cartesianas assim:
\iint_{D}2x\,dA =\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=2-x}^{2}2x\,dy\,dx.

Passo 4

Primeiro a integral interna em y:
\int_{y=2-x}^{2}2x\,dy =2x\bigl[y\bigr]_{y=2-x}^{y=2} =2x\bigl(2-(2-x)\bigr) =2x\cdot x =2x^2.
Agora a externa em x:
\int_{0}^{2}2x^2\,dx =2\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{2} =2\cdot\frac{8}{3} =\frac{16}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{3}

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