Por meio do teorema de Gauss, calcule o fluxo do campo
\mathbf{F}(x, y, z)=(x-y, y-z, z-x)
através da superfície S que é a face externa da pirâmide limitada pelo plano 2 x+2 y+3 z=6 e os planos coordenados e orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\mathbf{F}(x,y,z) = (x - y,\;y - z,\;z - x)
através da superfície fechada S da pirâmide limitada pelos planos coordenados e pelo plano
2x + 2y + 3z = 6,
orientada externamente. Vamos usar o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência), que diz que o fluxo de \mathbf{F} através de S é igual à integral tripla da divergência de \mathbf{F} sobre o volume V interno à superfície:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} \;=\;\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x-y) + \frac{\partial}{\partial y}(y-z) + \frac{\partial}{\partial z}(z-x).
Como \partial_x(x-y)=1, \partial_y(y-z)=1 e \partial_z(z-x)=1, resulta
\nabla\cdot\mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3.

Passo 3

O volume V é o tetraedro com vértices em (0,0,0), (3,0,0), (0,3,0) e (0,0,2) (obtidos impondo duas variáveis zero no plano 2x+2y+3z=6). O volume de um tetraedro cujos interceptos nos eixos são a, b e c é
\text{Vol}(V) = \frac{1}{6}\,a\,b\,c.
Aqui a=3, b=3 e c=2, logo
\text{Vol}(V) = \frac{1}{6}\times 3 \times 3 \times 2 = 3.

Passo 4

Pelo Teorema de Gauss,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} (\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV = \iiint_{V} 3\,dV = 3 \times \text{Vol}(V) = 3 \times 3 = 9.

Resposta

O fluxo de \mathbf{F} através de S é 9.

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