Questão 1. Um corpo move-se num plano sem inclinação de tal que sua velocidade no instante t é v(t)=-2 t^{2}+3 t-5 (medida em quilômetros por hora). Determine o deslocamento desse corpo durante o período de tempo 0 \leq \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade instantânea de um corpo no plano, sem inclinação, por
v(t) = -2t^{2} + 3t - 5
em \text{km/h}, e pede o deslocamento desse corpo no intervalo de tempo 0 \le t \le 2.
Conteúdo: cálculo de integral definida para obter o deslocamento a partir da velocidade.

Passo 2

O deslocamento \Delta s entre t=0 e t=2 é dado pela integral definida de v(t):
\Delta s = \int_{0}^{2} v(t)\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{2} \bigl(-2t^{2} + 3t - 5\bigr)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Para resolver, primeiro encontramos uma primitiva de v(t). Seja V(t) tal que V'(t)=v(t).
V(t) = \int \bigl(-2t^{2} + 3t - 5\bigr)\,\mathrm{d}t = -\frac{2}{3}t^{3} + \frac{3}{2}t^{2} - 5t + C.
Agora avaliamos nos limites de 0 a 2:
\Delta s = V(2) - V(0) = \Bigl(-\frac{2}{3}\cdot 2^{3} + \frac{3}{2}\cdot 2^{2} - 5\cdot 2\Bigr) - \Bigl(0\Bigr).

Passo 4

Calculando termo a termo:
-\frac{2}{3}\cdot 8 = -\frac{16}{3},\quad \frac{3}{2}\cdot 4 = 6,\quad -5\cdot 2 = -10.
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\Delta s = -\frac{16}{3} + 6 - 10 = -\frac{16}{3} - 4 = -\frac{16}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{28}{3}\,\text{km}.
O sinal negativo indica que o corpo teve deslocamento neto de 9\frac{1}{3} km no sentido oposto ao positivo convenido.

Resposta

\Delta s = -\frac{28}{3}\,\text{km}.

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