Por meio do teorema de Stokes, calcule a circulação
onde
a elipse
e orientada no sentido anti-horário quando vista por cima.
Passo 1
O enunciado pede a circulação
onde
é a interseção da cilindro
com o plano
, orientada anti-horário quando vista do eixo
.
Conteúdo: Teorema de Stokes. Vamos usar
Conteúdo: Teorema de Stokes. Vamos usar
escolhendo
como a parte do plano
limitada por
.
Passo 2
Definimos
Calculamos o rotacional
:
Passo 3
O plano
tem vetor normal não unitário
. Como a curva está orientada anti-horário vista de cima (
), escolhemos o vetor normal unitário
que possui componente
positiva, garantindo coerência com a orientação de
.
Passo 4
Em coordenadas
no plano
temos
, e o elemento de área da superfície relaciona-se com a projeção no plano
por
A projeção da região em
no plano
é o disco
.
Passo 5
Pela fórmula de Stokes:
Calculamos o escalar:
E a área do disco é
. Logo,