Por meio do teorema de Stokes, calcule a circulação
\oint_{C}(y-z) d x+(z-x) d y+(x-y) d z
onde C a elipse \left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}=1, x+z=1\right\} e orientada no sentido anti-horário quando vista por cima.

Passo 1

O enunciado pede a circulação
\oint_{C}(y-z)\,dx + (z-x)\,dy + (x-y)\,dz
onde C é a interseção da cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano x+z=1, orientada anti-horário quando vista do eixo z>0.
Conteúdo: Teorema de Stokes. Vamos usar
\oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r \;=\;\iint_{S}\bigl(\nabla\times\mathbf F\bigr)\cdot\mathbf n\,dS
escolhendo S como a parte do plano x+z=1 limitada por C.

Passo 2

Definimos
\mathbf F(x,y,z) = \bigl(P,Q,R\bigr) = \bigl(y - z,\;z - x,\;x - y\bigr).
Calculamos o rotacional \nabla\times\mathbf F:
\nabla\times\mathbf F = \Bigl(R_{y}-Q_{z},\;P_{z}-R_{x},\;Q_{x}-P_{y}\Bigr) = \bigl(-1-1,\;-1-1,\;-1-1\bigr) = \bigl(-2,-2,-2\bigr).

Passo 3

O plano x+z=1 tem vetor normal não unitário \,(1,0,1). Como a curva está orientada anti-horário vista de cima ( z>0), escolhemos o vetor normal unitário
\mathbf n = \frac{(1,0,1)}{\sqrt{2}},
que possui componente z positiva, garantindo coerência com a orientação de C.

Passo 4

Em coordenadas (x,y) no plano x+z=1 temos z=1-x, e o elemento de área da superfície relaciona-se com a projeção no plano xy por
dS = \sqrt{1+\bigl(\partial z/\partial x\bigr)^{2}+\bigl(\partial z/\partial y\bigr)^{2}}\;dA_{xy} = \sqrt{1+(-1)^{2}+0}\;dA_{xy} = \sqrt{2}\;dA_{xy}.
A projeção da região em S no plano xy é o disco x^{2}+y^{2}\le1.

Passo 5

Pela fórmula de Stokes:
\oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_{S}(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS = \bigl(-2,-2,-2\bigr)\cdot\frac{(1,0,1)}{\sqrt{2}}\;\iint_{x^{2}+y^{2}\le1}\!\sqrt{2}\,dA_{xy}.
Calculamos o escalar:
(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n = \frac{-2\cdot1 +(-2)\cdot0 +(-2)\cdot1}{\sqrt{2}} = \frac{-4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}.
E a área do disco é \pi. Logo,
\oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r = \bigl(-2\sqrt{2}\bigr)\,\sqrt{2}\,\pi = -4\pi.

Resposta

-4\pi

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