Determine a derivada da função vetorial nos seguintes itens:

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função vetorial vec r(t) = (t e^2t, tt+1, tg^-1t). Vamos usar: regra do produto para o primeiro componente, regra do quociente para o segundo e a derivada de tg^-1t para o terceiro.

Passo 2

Para o primeiro componente x(t)=t e^2t, aplicamos a regra do produto (uv)'=u'v+uv':\n x'(t)=1cdot e^2t+tcdot(2e^2t)=e^2t+2t e^2t=e^2t(1+2t)

Passo 3

Para o segundo componente y(t)=tt+1, aplicamos a regra do quociente (u/v)'=u'v-u v'v^2:\n y'(t)=1cdot(t+1)-tcdot1(t+1)^2=t+1-t(t+1)^2=1(t+1)^2

Passo 4

Para o terceiro componente z(t)=tg^-1t, usamos a derivada (tg^-1t)'=11+t^2:\n z'(t)=11+t^2

Passo 5

Agora juntamos os resultados para obter vec r,'(t): cada componente derivada forma o vetor resultante.

Resposta

vec r,'(t)=l(e^2t(1+2t),,1(t+1)^2,,11+t^2r)

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