Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Plote ambas as sequiências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede: calcular pelo menos dez somas parciais da série, plotar na mesma tela a sequência dos termos e a sequência das somas parciais, decidir se a série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular a soma. A série dada é
Informações relevantes do enunciado:
Preciso calcular somas parciais
(pelo menos 10 delas), mostrar o gráfico das sequências
e
na mesma tela, e concluir sobre convergência e soma se houver.
Passo 2
Vamos manipular a soma parcial
de forma algébrica (a ideia é reconhecer cancelamentos — técnica chamada de série telescópica). Escrevo a soma parcial:
Escrevendo os primeiros termos explícitos:
Observe que muitos termos se cancelam (o
negativo do primeiro par cancela com o
positivo do segundo, e assim por diante).
Passo 3
Após os cancelamentos (mostro explicitamente a estrutura do cancelamento), sobra apenas:
Isto é a forma fechada da soma parcial. Explicando devagar: cada parcela
cancela com a parcela
do somando seguinte, então sobram apenas o primeiro positivo
e o último negativo
.
Passo 4
Agora uso a forma fechada para estudar o limite quando
. Temos
Como
quando
, o termo
. Logo
Portanto a série converge (porque suas somas parciais têm limite finito) e o valor da soma é
.
Passo 5
Calculo explicitamente as primeiras dez somas parciais usando a fórmula
. Vou apresentar cada uma com aproximação decimal (arredondadas a 7 casas decimais para ficar legível):
Essas são as 10 somas parciais pedidas. Note que elas se aproximam de
à medida que
cresce.]
Passo 6
Também é interessante ver os primeiros termos
. Para os primeiros 10 termos temos (valores aproximados):
Perceba que
e
quando
. O fato de os termos irem a zero é necessário para convergência, mas aqui temos além disso a estrutura telescópica que dá a soma exata.
Passo 7
Instruções para plotar as duas sequências na mesma tela (código Python / Matplotlib). Execute este código no seu computador (por exemplo num Jupyter notebook). Ele plota a sequência de termos
e a sequência de somas parciais
no mesmo gráfico; uso marcadores discretos e legenda para ficar claro.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
Nmax = 50
n = np.arange(1, Nmax+1)
a = 1/n**1.5 - 1/(n+1)**1.5 # termos a_n
S = 1 - 1/(n+1)**1.5 # somas parciais S_n
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(n, S, '-o', label='Somas parciais \(S_n\)', markersize=4)
plt.stem(n, a, linefmt='C1-', markerfmt='C1o', basefmt=' ', label='Termos \(a_n\)', use_line_collection=True)
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('Valor')
plt.title('Sequência de termos \(a_n\) e de somas parciais \(S_n\)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Observações sobre o gráfico: a curva de
sobe e se aproxima de
. Os pontos de
são decrescentes, pequenos, e centram-se perto de zero conforme
aumenta. Colocar até
dá boa visualização do comportamento.
Passo 8
Resumo da conclusão e didática rápida para a prova:
- Reconheça a estrutura telescópica: se o termo geral é da forma
, então a soma parcial tipicamente reduz a . - Use a fórmula das somas parciais para tirar o limite; se
então a soma infinita vale . - Aqui
, então e , daí soma . - No tempo de prova: sempre tente escrever os primeiros termos e ver cancelamentos; isso é rápido e confiável.
Resposta
Somas parciais
a
:
A série é convergente.
Soma da série:
.