Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Plote ambas as sequiências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{1,5}}-\frac{1}{(n+1)^{1,5}}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular pelo menos dez somas parciais da série, plotar na mesma tela a sequência dos termos e a sequência das somas parciais, decidir se a série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular a soma. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{1,5}}-\frac{1}{(n+1)^{1,5}}\right).
Informações relevantes do enunciado:
\text{termo geral } a_{n}=\frac{1}{n^{1,5}}-\frac{1}{(n+1)^{1,5}}.
Preciso calcular somas parciais S_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_{n} (pelo menos 10 delas), mostrar o gráfico das sequências (a_n) e (S_N) na mesma tela, e concluir sobre convergência e soma se houver.

Passo 2

Vamos manipular a soma parcial S_{N} de forma algébrica (a ideia é reconhecer cancelamentos — técnica chamada de série telescópica). Escrevo a soma parcial:
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n^{1,5}}-\frac{1}{(n+1)^{1,5}}\right).
Escrevendo os primeiros termos explícitos:
S_{N}=\left(\frac{1}{1^{1,5}}-\frac{1}{2^{1,5}}\right) +\left(\frac{1}{2^{1,5}}-\frac{1}{3^{1,5}}\right) +\left(\frac{1}{3^{1,5}}-\frac{1}{4^{1,5}}\right) +\cdots +\left(\frac{1}{N^{1,5}}-\frac{1}{(N+1)^{1,5}}\right).
Observe que muitos termos se cancelam (o \frac{1}{2^{1,5}} negativo do primeiro par cancela com o \frac{1}{2^{1,5}} positivo do segundo, e assim por diante).

Passo 3

Após os cancelamentos (mostro explicitamente a estrutura do cancelamento), sobra apenas:
S_{N}=\frac{1}{1^{1,5}}-\frac{1}{(N+1)^{1,5}}.
Isto é a forma fechada da soma parcial. Explicando devagar: cada parcela -\frac{1}{(n+1)^{1,5}} cancela com a parcela +\frac{1}{(n+1)^{1,5}} do somando seguinte, então sobram apenas o primeiro positivo \frac{1}{1^{1,5}} e o último negativo -\frac{1}{(N+1)^{1,5}}.

Passo 4

Agora uso a forma fechada para estudar o limite quando N\to\infty. Temos
S_{N}=1-\frac{1}{(N+1)^{1,5}}.
Como (N+1)^{1,5}\to\infty quando N\to\infty, o termo \frac{1}{(N+1)^{1,5}}\to 0. Logo
\lim_{N\to\infty}S_{N}=1-0=1.
Portanto a série converge (porque suas somas parciais têm limite finito) e o valor da soma é 1.

Passo 5

Calculo explicitamente as primeiras dez somas parciais usando a fórmula S_{N}=1-\dfrac{1}{(N+1)^{1,5}}. Vou apresentar cada uma com aproximação decimal (arredondadas a 7 casas decimais para ficar legível):
\begin{aligned} S_{1}&=1-\dfrac{1}{2^{1,5}} \approx 0,6464466,\\[4pt] S_{2}&=1-\dfrac{1}{3^{1,5}} \approx 0,8075499,\\[4pt] S_{3}&=1-\dfrac{1}{4^{1,5}} =1-\dfrac{1}{8}=0,8750000,\\[4pt] S_{4}&=1-\dfrac{1}{5^{1,5}} \approx 0,9105573,\\[4pt] S_{5}&=1-\dfrac{1}{6^{1,5}} \approx 0,9319586,\\[4pt] S_{6}&=1-\dfrac{1}{7^{1,5}} \approx 0,9459874,\\[4pt] S_{7}&=1-\dfrac{1}{8^{1,5}} \approx 0,9558058,\\[4pt] S_{8}&=1-\dfrac{1}{9^{1,5}} \approx 0,9629630,\\[4pt] S_{9}&=1-\dfrac{1}{10^{1,5}} \approx 0,9683772,\\[4pt] S_{10}&=1-\dfrac{1}{11^{1,5}} \approx 0,9725857. \end{aligned}
Essas são as 10 somas parciais pedidas. Note que elas se aproximam de 1 à medida que N cresce.]

Passo 6

Também é interessante ver os primeiros termos a_{n}=\dfrac{1}{n^{1,5}}-\dfrac{1}{(n+1)^{1,5}}. Para os primeiros 10 termos temos (valores aproximados):
\begin{aligned} a_{1}&\approx 0,6464466,\\\ a_{2}&\approx 0,1611033,\\\ a_{3}&\approx 0,0674501,\\\ a_{4}&\approx 0,0355573,\\\ a_{5}&\approx 0,0214013,\\\ a_{6}&\approx 0,0140288,\\\ a_{7}&\approx 0,0098184,\\\ a_{8}&\approx 0,0071571,\\\ a_{9}&\approx 0,0054143,\\\ a_{10}&\approx 0,0042084. \end{aligned}
Perceba que a_n>0 e a_n\to 0 quando n\to\infty. O fato de os termos irem a zero é necessário para convergência, mas aqui temos além disso a estrutura telescópica que dá a soma exata.

Passo 7

Instruções para plotar as duas sequências na mesma tela (código Python / Matplotlib). Execute este código no seu computador (por exemplo num Jupyter notebook). Ele plota a sequência de termos a_n e a sequência de somas parciais S_N no mesmo gráfico; uso marcadores discretos e legenda para ficar claro.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Nmax = 50
n = np.arange(1, Nmax+1)
a = 1/n**1.5 - 1/(n+1)**1.5            # termos a_n
S = 1 - 1/(n+1)**1.5                  # somas parciais S_n

plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(n, S, '-o', label='Somas parciais \(S_n\)', markersize=4)
plt.stem(n, a, linefmt='C1-', markerfmt='C1o', basefmt=' ', label='Termos \(a_n\)', use_line_collection=True)
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('Valor')
plt.title('Sequência de termos \(a_n\) e de somas parciais \(S_n\)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Observações sobre o gráfico: a curva de S_n sobe e se aproxima de 1. Os pontos de a_n são decrescentes, pequenos, e centram-se perto de zero conforme n aumenta. Colocar até N=50 dá boa visualização do comportamento.

Passo 8

Resumo da conclusão e didática rápida para a prova:
  • Reconheça a estrutura telescópica: se o termo geral é da forma b_n-b_{n+1}, então a soma parcial tipicamente reduz a b_1-b_{N+1}.
  • Use a fórmula das somas parciais para tirar o limite; se \lim_{N\to\infty} b_{N+1}=L então a soma infinita vale b_1-L.
  • Aqui b_n=\dfrac{1}{n^{1,5}}, então b_1=1 e b_{N+1}\to 0, daí soma 1.
  • No tempo de prova: sempre tente escrever os primeiros termos e ver cancelamentos; isso é rápido e confiável.

Resposta

Somas parciais S_{1} a S_{10}:
S_{1}\approx 0,6464466
S_{2}\approx 0,8075499
S_{3}=0,8750000
S_{4}\approx 0,9105573
S_{5}\approx 0,9319586
S_{6}\approx 0,9459874
S_{7}\approx 0,9558058
S_{8}\approx 0,9629630
S_{9}\approx 0,9683772
S_{10}\approx 0,9725857
A série é convergente.
Soma da série: 1.

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