Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule
sendo
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) definir o gradiente de uma função de três variáveis e (ii) calcular
para a função
Informações dadas: a expressão explícita de
em termos de
,
e
. Não há dependência de
explícita na expressão.
Passo 2
O que é o gradiente — explicação didática e intuitiva.
O gradiente de uma função de três variáveis é um vetor que reúne as derivadas parciais da função em relação a cada variável, ou seja, as taxas de variação da função quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo as outras fixas. Em notação:
O gradiente de uma função de três variáveis é um vetor que reúne as derivadas parciais da função em relação a cada variável, ou seja, as taxas de variação da função quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo as outras fixas. Em notação:
Aqui cada componente significa:
-
: taxa de variação de quando só muda; -
: taxa de variação de quando só muda; -
: taxa de variação de quando só muda.
Passo 3
Ferramenta principal que vamos usar: derivada parcial e regra da cadeia.
- Derivada parcial: calcular
de uma função significa diferenciar em relação a tratando e como constantes. - Regra da cadeia (caso composto): se
pode ser escrita como e , então . No nosso caso isso vai facilitar muito porque é um quadrado de uma expressão.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia: introduzo uma função intermediária para clarear os passos.
Defina
Defina
Então
A derivada de
em relação a
é
. Assim, pela regra da cadeia,
Passo 5
Calcular
.
Como e estamos diferenciando em relação a
mantendo
e
constantes,
Como
Substituindo em
:
Voltando à expressão de
,
Passo 6
Calcular
pelo mesmo raciocínio.
Usando e
,
Usando
Voltando a
,
Passo 7
Calcular
.
Observe que não depende de
(não há
na expressão). Quando uma função não depende de uma variável, a derivada parcial em relação a essa variável é zero. Logo,
Observe que
Passo 8
Juntando as três componentes para formar o gradiente.
Pelo passo 2 sabemos que
Pelo passo 2 sabemos que
Substituindo as derivadas que encontramos: