Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule \nabla f(x, y, z) sendo f(x, y, z)=
(c) \left(x^{2}+y^{2}+1\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) definir o gradiente de uma função de três variáveis e (ii) calcular \nabla f(x,y,z) para a função
f(x,y,z)=\left(x^{2}+y^{2}+1\right)^{2}.
Informações dadas: a expressão explícita de f em termos de x, y e z. Não há dependência de z explícita na expressão.

Passo 2

O que é o gradiente — explicação didática e intuitiva.
O gradiente de uma função de três variáveis é um vetor que reúne as derivadas parciais da função em relação a cada variável, ou seja, as taxas de variação da função quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo as outras fixas. Em notação:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Aqui cada componente significa:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}: taxa de variação de f quando só x muda;
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}: taxa de variação de f quando só y muda;
  • \dfrac{\partial f}{\partial z}: taxa de variação de f quando só z muda.

Passo 3

Ferramenta principal que vamos usar: derivada parcial e regra da cadeia.
  • Derivada parcial: calcular \dfrac{\partial}{\partial x} de uma função significa diferenciar em relação a x tratando y e z como constantes.
  • Regra da cadeia (caso composto): se f pode ser escrita como f(u(x,y,z)) e g(u)=u^{2}, então \dfrac{\partial f}{\partial x}=g'(u)\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}. No nosso caso isso vai facilitar muito porque f é um quadrado de uma expressão.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia: introduzo uma função intermediária para clarear os passos.
Defina
u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+1.
Então
f(x,y,z)=u(x,y,z)^{2}.
A derivada de g(u)=u^{2} em relação a u é g'(u)=2u. Assim, pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x}=2u\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x}.
Como u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+1 e estamos diferenciando em relação a x mantendo y e z constantes,
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2}+y^{2}+1\right)=2x+0+0=2x.
Substituindo em \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}=2u\cdot 2x = 4x\,u.
Voltando à expressão de u,
\frac{\partial f}{\partial x}=4x\left(x^{2}+y^{2}+1\right).

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} pelo mesmo raciocínio.
Usando f=u^{2} e \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}+1)=2y,
\frac{\partial f}{\partial y}=2u\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=2u\cdot 2y=4y\,u.
Voltando a u,
\frac{\partial f}{\partial y}=4y\left(x^{2}+y^{2}+1\right).

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Observe que f(x,y,z)=\left(x^{2}+y^{2}+1\right)^{2} não depende de z (não há z na expressão). Quando uma função não depende de uma variável, a derivada parcial em relação a essa variável é zero. Logo,
\frac{\partial f}{\partial z}=0.

Passo 8

Juntando as três componentes para formar o gradiente.
Pelo passo 2 sabemos que
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Substituindo as derivadas que encontramos:
\nabla f(x,y,z)=\left(4x\left(x^{2}+y^{2}+1\right),\;4y\left(x^{2}+y^{2}+1\right),\;0\right).

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\left(4x\left(x^{2}+y^{2}+1\right),\;4y\left(x^{2}+y^{2}+1\right),\;0\right)

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