Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Plote ambas as sequiências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede que analisemos a série
As perguntas/ações pedidas são:
- Calcular pelo menos dez somas parciais da série (ou seja, os primeiros dez
para apropriados). - Plotar na mesma tela a sequência dos termos
e a sequência das somas parciais . - Decidir se a série é convergente ou divergente; se for convergente, calcular a soma; se for divergente, justificar porquê.
Informações dadas: o termo geral da série épara . Não há mais informações adicionais.
Passo 2
Primeiro vou manipular o termo geral para facilitar o somatório. Vou escrever
Multiplico ambos os lados por
:
Isso deve valer para todo
. Reorganizando:
Comparando coeficientes de
e termos constantes, obtemos o sistema
Da segunda equação vem
. Portanto a decomposição é
Explicação didática: isso é padrão para frações parciais quando o denominador é produto de fatores lineares distintos; encontramos
e
impondo igualdade de polinômios.]
Passo 3
Agora uso essa identidade dentro da soma para formar as somas parciais. A soma parcial até
é
Vou escrever explicitamente os primeiros termos dessa soma para ver o padrão de cancelamento (telescópica):
Repare que há cancelamento em cascata:
cancela
,
cancela
, etc. Após cancelamentos sobra apenas o primeiro termo positivo da primeira parcela e o último termo negativo da última parcela.]
Passo 4
Concluímos então que a soma parcial tem a forma simples
Vou explicar: do desenvolvimento telescópico o que não é cancelado é
(vem do
com
) e
(vem do último subtrativo), logo
.
Passo 5
Agora calculo pelo menos dez somas parciais. A série começa em
, então as somas parciais
para
(dez valores) são:
Também pode ser útil listar os primeiros termos individuais
para
:
Passo 6
Instruções e código para plotar as duas sequências (termos
e somas parciais
) na mesma tela usando Python/Matplotlib. Execute este código num ambiente Python (por exemplo Jupyter Notebook). O código plota os pontos com marcas para visualizar bem as sequências.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# índices a partir de n=2
n = np.arange(2, 51) # plot até 50 para visualizar comportamento
a = 1.0 / (n*(n-1)) # termos a_n
S = 1.0 - 1.0/n # somas parciais S_n = 1 - 1/n
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(n, a, 'o-', label='termos \(a_n=1/(n(n-1))\)') # sequência de termos
plt.plot(n, S, 's-', label='somas parciais \(S_n=1-1/n\)') # sequência de somas parciais
plt.axhline(1.0, color='gray', linestyle='--', label='limite 1')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('valor')
plt.title('Sequência de termos e de somas parciais')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Explicação rápida do que o gráfico mostrará: os pontos da sequência
decrescem rapidamente para 0; os pontos de
aumentam e se aproximam de
. A linha tracejada em
evidencia que
tende a 1.
Passo 7
Determinação da convergência: usamos a expressão fechada das somas parciais
Tomando limite quando
,
Portanto a série converge e sua soma é
. Observação adicional prática: o erro (resto) após somar até
termos é
ou seja, para garantir erro menor que
precisamos de
. Isso é útil para estimar quantos termos são necessários na prática.
Resposta
As dez somas parciais
para
são:
A série é convergente e a soma é .
A série é convergente e a soma é