Calcule pelo menos dez somas parciais da série. Plote ambas as sequiências de termos e de somas parciais na mesma tela. Parece que a série é convergente ou divergente? Se ela for convergente, calcule a soma. Se for divergente, explique por quê.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}

Passo 1

O enunciado pede que analisemos a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}.
As perguntas/ações pedidas são:
  1. Calcular pelo menos dez somas parciais da série (ou seja, os primeiros dez S_N=\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n(n-1)} para N apropriados).
  2. Plotar na mesma tela a sequência dos termos a_n=\frac{1}{n(n-1)} e a sequência das somas parciais S_N.
  3. Decidir se a série é convergente ou divergente; se for convergente, calcular a soma; se for divergente, justificar porquê.
    Informações dadas: o termo geral da série é a_n=\frac{1}{n(n-1)} para n\ge2. Não há mais informações adicionais.

Passo 2

Primeiro vou manipular o termo geral para facilitar o somatório. Vou escrever \frac{1}{n(n-1)}\) como soma/diferença de frações simples (frações parciais). Procuro constantes \(A\) e \(B\) tais que \[\frac{1}{n(n-1)}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n}.
Multiplico ambos os lados por n(n-1):
1 = A n + B (n-1).
Isso deve valer para todo n. Reorganizando:
1 = (A+B)n - B.
Comparando coeficientes de n e termos constantes, obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] -\,B=1. \end{cases}
Da segunda equação vem B=-1\]. Então \(A=1. Portanto a decomposição é
\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}.
Explicação didática: isso é padrão para frações parciais quando o denominador é produto de fatores lineares distintos; encontramos A e B impondo igualdade de polinômios.]

Passo 3

Agora uso essa identidade dentro da soma para formar as somas parciais. A soma parcial até N é
S_N=\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n(n-1)}=\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right).
Vou escrever explicitamente os primeiros termos dessa soma para ver o padrão de cancelamento (telescópica):
\begin{aligned} S_N &= \left(\frac{1}{2-1}-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3-1}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{4-1}-\frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N}\right)\\[4pt] &= \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N}\right). \end{aligned}
Repare que há cancelamento em cascata: -\frac{1}{2} cancela +\frac{1}{2}, -\frac{1}{3} cancela +\frac{1}{3}, etc. Após cancelamentos sobra apenas o primeiro termo positivo da primeira parcela e o último termo negativo da última parcela.]

Passo 4

Concluímos então que a soma parcial tem a forma simples
S_N = 1 - \frac{1}{N}.
Vou explicar: do desenvolvimento telescópico o que não é cancelado é +1 (vem do n=2 com \frac{1}{2-1}=1) e -\frac{1}{N} (vem do último subtrativo), logo S_N=1-\frac{1}{N}.

Passo 5

Agora calculo pelo menos dez somas parciais. A série começa em n=2, então as somas parciais S_N para N=2,3,\dots,11 (dez valores) são:
\begin{aligned} S_2 &= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \approx 0,5,\\[4pt] S_3 &= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0,6667,\\[4pt] S_4 &= 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0,75,\\[4pt] S_5 &= 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = 0,8,\\[4pt] S_6 &= 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0,8333,\\[4pt] S_7 &= 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7} \approx 0,8571,\\[4pt] S_8 &= 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0,875,\\[4pt] S_9 &= 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 0,8889,\\[4pt] S_{10} &= 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 0,9,\\[4pt] S_{11} &= 1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11} \approx 0,9091. \end{aligned}
Também pode ser útil listar os primeiros termos individuais a_n para n=2,\dots,11:
\begin{aligned} a_2 &= \frac{1}{2\cdot1}=\frac{1}{2}=0,5,\\[4pt] a_3 &= \frac{1}{3\cdot2}=\frac{1}{6}\approx 0,1667,\\[4pt] a_4 &= \frac{1}{4\cdot3}=\frac{1}{12}\approx 0,08333,\\[4pt] a_5 &= \frac{1}{5\cdot4}=\frac{1}{20}=0,05,\\[4pt] a_6 &= \frac{1}{6\cdot5}=\frac{1}{30}\approx 0,03333,\\[4pt] a_7 &= \frac{1}{7\cdot6}=\frac{1}{42}\approx 0,02381,\\[4pt] a_8 &= \frac{1}{8\cdot7}=\frac{1}{56}\approx 0,01786,\\[4pt] a_9 &= \frac{1}{9\cdot8}=\frac{1}{72}\approx 0,01389,\\[4pt] a_{10} &= \frac{1}{10\cdot9}=\frac{1}{90}\approx 0,01111,\\[4pt] a_{11} &= \frac{1}{11\cdot10}=\frac{1}{110}\approx 0,0090909. \end{aligned}]

Passo 6

Instruções e código para plotar as duas sequências (termos a_n e somas parciais S_N) na mesma tela usando Python/Matplotlib. Execute este código num ambiente Python (por exemplo Jupyter Notebook). O código plota os pontos com marcas para visualizar bem as sequências.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# índices a partir de n=2
n = np.arange(2, 51)          # plot até 50 para visualizar comportamento
a = 1.0 / (n*(n-1))           # termos a_n
S = 1.0 - 1.0/n               # somas parciais S_n = 1 - 1/n

plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(n, a, 'o-', label='termos \(a_n=1/(n(n-1))\)')        # sequência de termos
plt.plot(n, S, 's-', label='somas parciais \(S_n=1-1/n\)')    # sequência de somas parciais
plt.axhline(1.0, color='gray', linestyle='--', label='limite 1')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('valor')
plt.title('Sequência de termos e de somas parciais')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Explicação rápida do que o gráfico mostrará: os pontos da sequência a_n decrescem rapidamente para 0; os pontos de S_N aumentam e se aproximam de 1. A linha tracejada em y=1 evidencia que S_N tende a 1.

Passo 7

Determinação da convergência: usamos a expressão fechada das somas parciais
S_N = 1 - \frac{1}{N}.
Tomando limite quando N\to\infty,
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{N}\right)=1.
Portanto a série converge e sua soma é 1. Observação adicional prática: o erro (resto) após somar até N termos é
R_N = 1 - S_N = \frac{1}{N},
ou seja, para garantir erro menor que \varepsilon precisamos de N>\frac{1}{\varepsilon}. Isso é útil para estimar quantos termos são necessários na prática.

Resposta

As dez somas parciais S_N para N=2,\dots,11 são:
\displaystyle S_2=\tfrac{1}{2},\; S_3=\tfrac{2}{3},\; S_4=\tfrac{3}{4},\; S_5=\tfrac{4}{5},\; S_6=\tfrac{5}{6},\; S_7=\tfrac{6}{7},\; S_8=\tfrac{7}{8},\; S_9=\tfrac{8}{9},\; S_{10}=\tfrac{9}{10},\; S_{11}=\tfrac{10}{11}.
A série é convergente e a soma é \displaystyle 1.

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