Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule
sendo
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) definir o gradiente de uma função de três variáveis e (2) calcular
para a função dada. A função fornecida é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é
. - Para a função fazer sentido precisamos de
(pois há divisão por ). - Devemos retornar o vetor gradiente
, isto é, as derivadas parciais em relação a , e .
Passo 2
O que é o gradiente — explicação didática: o gradiente de uma função de três variáveis é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Formalmente,
Intuição: cada componente diz como
muda se você variar só aquela variável, mantendo as outras fixas. Na prova, para calcular o gradiente você calcula as três derivadas parciais separadamente.
Passo 3
Preparar a função para derivar: é útil reescrever
Assim vemos claramente que, ao derivar em relação a uma variável, as outras podem ser tratadas como constantes (isso é a definição de derivada parcial).
Passo 4
Derivada parcial em relação a
: aqui
e
são constantes. Tomamos
. A derivada de
em relação a
é
, então
Explicação extra: usamos que
quando
é constante (aqui
).
Passo 5
Derivada parcial em relação a
: aqui
e
são constantes. Use a forma
e a regra da potência para
, ou seja
. Assim
Explicação extra: como
é constante em relação a
, multiplicamos essa constante pela derivada de
.
Passo 6
Derivada parcial em relação a
: aqui
e
são constantes. Da expressão
a derivada em relação a
é apenas
, pois a derivada de
é
. Então
Passo 7
Juntando as três componentes pelo que definimos no Passo 2, o gradiente é
válido para
. Como checagem rápida, se você substituir
obtém
.