Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule \nabla f(x, y, z) sendo f(x, y, z)=
(d) z \frac{x}{y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) definir o gradiente de uma função de três variáveis e (2) calcular \nabla f(x,y,z) para a função dada. A função fornecida é
f(x,y,z)=z\frac{x}{y}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. A função é f(x,y,z)=\dfrac{zx}{y}.
  2. Para a função fazer sentido precisamos de y\neq 0 (pois há divisão por y).
  3. Devemos retornar o vetor gradiente \nabla f(x,y,z), isto é, as derivadas parciais em relação a x, y e z.

Passo 2

O que é o gradiente — explicação didática: o gradiente de uma função de três variáveis é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Formalmente,
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Intuição: cada componente diz como f muda se você variar só aquela variável, mantendo as outras fixas. Na prova, para calcular o gradiente você calcula as três derivadas parciais separadamente.

Passo 3

Preparar a função para derivar: é útil reescrever
f(x,y,z)=\frac{zx}{y}=zx\cdot y^{-1}.
Assim vemos claramente que, ao derivar em relação a uma variável, as outras podem ser tratadas como constantes (isso é a definição de derivada parcial).

Passo 4

Derivada parcial em relação a x: aqui y e z são constantes. Tomamos f(x,y,z)=z\cdot x\cdot y^{-1}. A derivada de x em relação a x é 1, então
\frac{\partial f}{\partial x}=z\cdot y^{-1}=\frac{z}{y}.
Explicação extra: usamos que \dfrac{d}{dx}(a x)=a quando a é constante (aqui a=z\cdot y^{-1}).

Passo 5

Derivada parcial em relação a y: aqui x e z são constantes. Use a forma f=zx\cdot y^{-1} e a regra da potência para y^{-1}, ou seja \dfrac{d}{dy}y^{-1}=-1\cdot y^{-2}. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}=zx\cdot(-1)\,y^{-2}=-\frac{zx}{y^{2}}.
Explicação extra: como zx é constante em relação a y, multiplicamos essa constante pela derivada de y^{-1}.

Passo 6

Derivada parcial em relação a z: aqui x e y são constantes. Da expressão f=zx\cdot y^{-1} a derivada em relação a z é apenas x\cdot y^{-1}, pois a derivada de z é 1. Então
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{x}{y}.

Passo 7

Juntando as três componentes pelo que definimos no Passo 2, o gradiente é
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{z}{y},\; -\frac{zx}{y^{2}},\; \frac{x}{y}\right),
válido para y\neq 0. Como checagem rápida, se você substituir (x,y,z)=(1,2,3) obtém \nabla f(1,2,3)=\left(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{3}{4}, \tfrac{1}{2}\right).

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\left(\dfrac{z}{y},\; -\dfrac{zx}{y^{2}},\; \dfrac{x}{y}\right)

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