Exprese o número como uma razão de inteiros. 0,123 \overline{456}
Passo 1
O enunciado pede: expressar o número 0,123\overline{456} como uma razão de inteiros (fração irreduzível preferivelmente).
Informações dadas: o número decimal é 0,123456456456\ldots. Há uma parte não repetida 123 (três dígitos) seguida do bloco repetido 456 (três dígitos).
Passo 2
Definimos a incógnita que vamos manipular. Seja
x = 0,123\overline{456}.
A ideia geral (método) é deslocar a vírgula de modo que, ao subtrair duas potências de 10 multiplicando x, a parte decimal periódica se cancele. Se a parte não repetida tem comprimento m e o período tem comprimento n, então multiplicamos por 10^{m} e por 10^{m+n} e subtraímos:
10^{m+n}x - 10^{m}x = \text{(inteiro formado por non-rep+rep)} - \text{(inteiro formado por non-rep)}.
Aqui \,m=3 (os dígitos 123) e \,n=3 (os dígitos 456).
Passo 3
Multiplicamos x por 10^{3} e por 10^{6} para alinhar os períodos:
10^{3}x = 123{,}456456\ldots
10^{6}x = 123456{,}456456\ldots
Observe que as partes decimais ",456456\ldots" são idênticas em ambos, por isso irão se cancelar na subtração.