Exprese o número como uma razão de inteiros.
0,123 \overline{456}

Passo 1

O enunciado pede: expressar o número 0,123\overline{456} como uma razão de inteiros (fração irreduzível preferivelmente).
Informações dadas: o número decimal é 0,123456456456\ldots. Há uma parte não repetida 123 (três dígitos) seguida do bloco repetido 456 (três dígitos).

Passo 2

Definimos a incógnita que vamos manipular. Seja
x = 0,123\overline{456}.
A ideia geral (método) é deslocar a vírgula de modo que, ao subtrair duas potências de 10 multiplicando x, a parte decimal periódica se cancele. Se a parte não repetida tem comprimento m e o período tem comprimento n, então multiplicamos por 10^{m} e por 10^{m+n} e subtraímos:
10^{m+n}x - 10^{m}x = \text{(inteiro formado por non-rep+rep)} - \text{(inteiro formado por non-rep)}.
Aqui \,m=3 (os dígitos 123) e \,n=3 (os dígitos 456).

Passo 3

Multiplicamos x por 10^{3} e por 10^{6} para alinhar os períodos:
10^{3}x = 123{,}456456\ldots
10^{6}x = 123456{,}456456\ldots
Observe que as partes decimais ",456456\ldots" são idênticas em ambos, por isso irão se cancelar na subtração.

Passo 4

Subtraindo as duas igualdades:
10^{6}x - 10^{3}x = 123456{,}456456\ldots - 123{,}456456\ldots
No lado direito as partes decimais iguais cancelam, sobrando apenas a diferença dos inteiros:
123456{,}456456\ldots - 123{,}456456\ldots = 123456 - 123 = 123333.
No lado esquerdo:
10^{6} - 10^{3} = 1000000 - 1000 = 999000,
logo obtemos a equação
999000\,x = 123333.

Passo 5

Isolando x:
x = \frac{123333}{999000}.
Agora vamos simplificar esta fração.

Passo 6

Dividimos numerador e denominador por 3 (porque a soma dos algarismos de 123333 é 1+2+3+3+3+3=15, divisível por 3; idem para 999000):
\frac{123333}{999000} = \frac{123333\div 3}{999000\div 3} = \frac{41111}{333000}.

Passo 7

Verificamos se \frac{41111}{333000} pode ser simplificada mais. Calculamos \gcd(41111,333000) pelo algoritmo de Euclides:
333000 = 8\cdot 41111 + 4112
41111 = 9\cdot 4112 + 4103
4112 = 1\cdot 4103 + 9
4103 = 455\cdot 9 + 8
9 = 1\cdot 8 + 1
8 = 8\cdot 1 + 0
Como o último resto não nulo é 1, temos \gcd(41111,333000)=1. Portanto a fração já está irredutível.

Resposta

\dfrac{41111}{333000}

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