Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
a) integralC(x^2+y^2) d s C:(x(t), y(t))=(cos (t), sen(t)) t in[-pi2, pi2]
b) integralC(y+2) d s C:(x(t), y(t))=(1-t, 1) t in[0,1]
c) integralC 11+x d s C:(x(t), y(t))=(t, 23 t^3 / 2) t in[0,3]
d) integralC(3 x^2 y z) d s C:(x(t), y(t), z(t))=(t, t^2, 23 t^3) t in[0,1]
e) integralC(x+2 y) d x+(x-y) d y C:(x(t), y(t))=(2 cos (t), 4 sen(t)) t in[0, pi4]
f) integralC-y d x+x d y C: y^2=3 x de (3,3) para (0,0)
g) integralC(x^2+y^2) d x-x d y C: x^2+y^2=1 no sentido anti-horário de (1,0) para (0,1)
h) integralC y z d x-x z d y+x y d z C:(x(t), y(t), z(t))=(e^t, e^3 t, e^-t) t in[0,1]

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular três integrais de linha da forma ∫_C f(x,y),ds. O conteúdo envolve integrais de linha escalares e usaremos a fórmula ds=raiz(dx/dt)^2+(dy/dt)^2,dt e as parametrizações dadas.

Passo 2

Na integral (a) temos a curva x=cos(t), y=sen(t), tin[-tfracpi2,tfracpi2]. Calculamos dx/dt=-sin(t), dy/dt=cos(t), então

Como nds=raizsin^2(t)+cos^2(t),dt=dt, a integral é
$$
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1,dt=\pi.
$$

Passo 3

Na integral (b) temos x=1-t, y=1, tin[0,1]. Então dx/dt=-1, dy/dt=0 e
ds=raiz1+0,dt=dt
O integrando é y+2=1+2=3, logo
integral0^1 3,dt=3

Passo 4

Na integral © temos x=t, y=tfrac23t^3/2, tin[0,3]. Calculamos dy/dt=t^1/2, então
ds=raiz1+t,dt
O integrando é 1/(1+t), resultando em
integral0^3raiz1+t1+t,dt=integral0^3dtraiz1+t=[2raiz1+t]0^3=2

Resposta

a) pi, b) 3, c) 2

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