Calcule as seguintes integrais:

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral ln(x^2+1),dx. Esse tipo de integral envolve função logarítmica sem derivada explícita multiplicando, então a estratégia ideal é usar integração por partes. A teoria geral de integração por partes afirma:
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Para aplicar, escolhemos u=ln(x^2+1) e dv=dx. Aí du=2xx^2+1,dx e v=x. Aplicando:
integral ln(x^2+1),dx = xln(x^2+1) - integral x cdot 2xx^2+1,dx

Passo 3

Na integral que restou, extraímos o 2 e ficamos com integral x^2x^2+1,dx. Para resolvê-la, fazemos a divisão:
x^2x^2+1 = 1 - 1x^2+1
Logo,
2integral x^2x^2+1,dx = 2integral l(1 - 1x^2+1r),dx = 2l(x - arctan(x)r)

Passo 4

Voltando na expressão da integração por partes, substituímos o resultado acima e organizamos termos. Isso nos dá a primitiva final.

Resposta

xln(x^2+1) - 2x + 2arctan(x) + C

Exercícios relacionados