Calcule, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
f(z)=\operatorname{sec} z em torno de z_{0}=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede: calcular, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de f(z)=\operatorname{sec} z em torno do ponto z_{0}=\pi/2 e especificar o anel (anel, ou seja, a região) de convergência dessa expansão.
Informações dadas que vamos usar: f(z)=\operatorname{sec} z=1/\cos z e o ponto de expansão é z_{0}=\pi/2. Não há outras informações externas: tratamos a singularidade isolada em z_{0}.

Passo 2

Primeiro, centralizamos a expansão em torno de z_{0}=\pi/2 fazendo a mudança de variável
w = z - \frac{\pi}{2}.
Assim, expandimos f em potências de w (ou seja, em potências de z-\pi/2). Agora reescrevemos \operatorname{sec} z em termos de w. Usando a identidade trigonométrica para soma de ângulos,
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+w\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos w-\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin w= -\sin w,
porque \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1. Portanto
\operatorname{sec} z=\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{2}+w\right)=\frac{1}{\cos(\frac{\pi}{2}+w)}=\frac{1}{-\,\sin w} = -\,\csc w.
Logo é equivalente obter a expansão de Laurent de -\csc w em torno de w=0.

Passo 3

Lembremos a série de Taylor da função \sin w centrada em w=0:
\sin w = w - \frac{w^{3}}{3!} + \frac{w^{5}}{5!} - \frac{w^{7}}{7!} + \cdots = w - \frac{w^{3}}{6} + \frac{w^{5}}{120} - \frac{w^{7}}{5040} + \cdots.
Fatorando w,
\sin w = w\left(1 - \frac{w^{2}}{6} + \frac{w^{4}}{120} - \frac{w^{6}}{5040} + \cdots\right).
Então
\csc w = \frac{1}{\sin w} = \frac{1}{w}\cdot\frac{1}{1 - \frac{w^{2}}{6} + \frac{w^{4}}{120} - \frac{w^{6}}{5040} + \cdots}.

Passo 4

Para obter a expansão do fator \dfrac{1}{1 - \frac{w^{2}}{6} + \frac{w^{4}}{120} - \frac{w^{6}}{5040} + \cdots} usamos um polinômio inverso: suponha
\frac{1}{1 - \frac{w^{2}}{6} + \frac{w^{4}}{120} - \frac{w^{6}}{5040} + \cdots} = 1 + a w^{2} + b w^{4} + c w^{6} + \cdots.
Multiplicamos ambos os lados pelo fator original e igualamos coeficientes ordem a ordem:
\big(1 - \tfrac{w^{2}}{6} + \tfrac{w^{4}}{120} - \tfrac{w^{6}}{5040} + \cdots\big)\big(1 + a w^{2} + b w^{4} + c w^{6} + \cdots\big) = 1.
Equacionando coeficientes:
  • Coeficiente de w^{2}: -\tfrac{1}{6} + a = 0 \Rightarrow a = \tfrac{1}{6}.
  • Coeficiente de w^{4}: \tfrac{1}{120} + b + a\big(-\tfrac{1}{6}\big) = 0 \Rightarrow b = \tfrac{7}{360}.
    (Mostro o cálculo: b = -\tfrac{1}{120} + \tfrac{a}{6} = -\tfrac{1}{120} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{7}{360}.)
  • Coeficiente de w^{6}: -\tfrac{1}{5040} + c + a\big(\tfrac{1}{120}\big) + b\big(-\tfrac{1}{6}\big) = 0. Substituindo a e b e resolvendo dá c=\tfrac{31}{15120}.
    (Detalhe: -\tfrac{1}{5040} + c + \tfrac{1}{720} - \tfrac{7}{2160}=0 \Rightarrow c=\tfrac{31}{15120}.)
Assim
\frac{1}{1 - \frac{w^{2}}{6} + \frac{w^{4}}{120} - \cdots} = 1 + \frac{w^{2}}{6} + \frac{7 w^{4}}{360} + \frac{31 w^{6}}{15120} + \cdots.

Passo 5

Voltando a \csc w,
\csc w = \frac{1}{w}\left(1 + \frac{w^{2}}{6} + \frac{7 w^{4}}{360} + \frac{31 w^{6}}{15120} + \cdots\right) = \frac{1}{w} + \frac{w}{6} + \frac{7 w^{3}}{360} + \frac{31 w^{5}}{15120} + \cdots.
Lembrando que \operatorname{sec} z = -\csc w com w=z-\pi/2, obtemos a expansão de Laurent de \operatorname{sec} z em torno de z=\pi/2:
\operatorname{sec} z = -\frac{1}{w} - \frac{w}{6} - \frac{7 w^{3}}{360} - \frac{31 w^{5}}{15120} + \cdots,
onde w = z - \dfrac{\pi}{2}. Estas são, portanto, as primeiras quatro parcelas não nulas (contando a parte principal) da série de Laurent.

Passo 6

Agora o anel de convergência: a expansão em potências de w (isto é, a série de Laurent centrada em z_{0}=\pi/2) converge no disco puncturado em torno de w=0 até a distância do ponto central até a singularidade mais próxima diferente de z_{0}. As singularidades de \operatorname{sec} z são exatamente os zeros de \cos z, que são z=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. A mais próxima de z_{0}=\pi/2 (além dela própria) fica em distância \pi (por exemplo em z=\pi/2 \pm \pi). Portanto o raio de convergência é \pi, e o anel de convergência é
0<\left|z-\frac{\pi}{2}\right|<\pi.

Resposta

\operatorname{sec} z = -\frac{1}{z-\frac{\pi}{2}} - \frac{z-\frac{\pi}{2}}{6} - \frac{7\,(z-\frac{\pi}{2})^{3}}{360} - \frac{31\,(z-\frac{\pi}{2})^{5}}{15120} + \cdots
\text{Anel de convergência: }0<\left|z-\frac{\pi}{2}\right|<\piê

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