Calcule, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de
em torno do ponto
e especificar o anel (anel, ou seja, a região) de convergência dessa expansão.
Informações dadas que vamos usar: e o ponto de expansão é
. Não há outras informações externas: tratamos a singularidade isolada em
.
Informações dadas que vamos usar:
Passo 2
Primeiro, centralizamos a expansão em torno de
fazendo a mudança de variável
Assim, expandimos
em potências de
(ou seja, em potências de
). Agora reescrevemos
em termos de
. Usando a identidade trigonométrica para soma de ângulos,
porque
e
. Portanto
Logo é equivalente obter a expansão de Laurent de
em torno de
.
Passo 3
Lembremos a série de Taylor da função
centrada em
:
Fatorando
,
Então
Passo 4
Para obter a expansão do fator
usamos um polinômio inverso: suponha
Multiplicamos ambos os lados pelo fator original e igualamos coeficientes ordem a ordem:
Equacionando coeficientes:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
(Mostro o cálculo:.) - Coeficiente de
: . Substituindo e e resolvendo dá .
(Detalhe:.)
Assim
Passo 5
Voltando a
,
Lembrando que
com
, obtemos a expansão de Laurent de
em torno de
:
onde
. Estas são, portanto, as primeiras quatro parcelas não nulas (contando a parte principal) da série de Laurent.
Passo 6
Agora o anel de convergência: a expansão em potências de
(isto é, a série de Laurent centrada em
) converge no disco puncturado em torno de
até a distância do ponto central até a singularidade mais próxima diferente de
. As singularidades de
são exatamente os zeros de
, que são
,
. A mais próxima de
(além dela própria) fica em distância
(por exemplo em
). Portanto o raio de convergência é
, e o anel de convergência é