Calcule os modos normais de vibração de 3 massas idênticas acopladas por 4 molas com a mesma constante elástica .
Passo 1
Temos um sistema de 3 massas idênticas (cada uma de massa ) ligadas em série por 4 molas idênticas de constante com as extremidades fixas. O conteúdo é vibrações normais de um arranjo linear de massas e molas; vamos precisar montar as equações de Newton, extrair a matriz de rigidez e resolver o problema de autovalores para achar frequências e modos.
Passo 2
Escrevendo as equações de movimento pelas forças das molas, chamando os deslocamentos:
Para a massa 1:
Para a massa 2:
Para a massa 3:
Passo 3
Procuramos soluções harmônicas do tipo . Substituindo em cada equação e dividindo por , obtemos o sistema
odnde a matriz é a que define o problema de autovalores.
Passo 4
Para encontrar as frequências, resolvemos . Isso equivale a achar os autovalores da matriz sem dimensão:
Passo 5
Usando o resultado geral para cadeias com N=3 massas e extremos fixos, os autovalores são
lambdaj=2l(1-cosjpiN+1r), j=1,2,3
Logo:
lambda1=2-raiz2, lambda2=2, lambda3=2+raiz2
Passo 6
As frequências normais seguem omegaj=raiztfrackm,lambdaj. Assim: