Calcule os modos normais de vibração de 3 massas idênticas m acopladas por 4 molas com a mesma constante elástica k.

Passo 1

Temos um sistema de 3 massas idênticas (cada uma de massa m) ligadas em série por 4 molas idênticas de constante k com as extremidades fixas. O conteúdo é vibrações normais de um arranjo linear de massas e molas; vamos precisar montar as equações de Newton, extrair a matriz de rigidez e resolver o problema de autovalores para achar frequências e modos.

Passo 2

Escrevendo as equações de movimento pelas forças das molas, chamando x1,x2,x3 os deslocamentos:
Para a massa 1:
mddot x1 = -k x1 + k(x2 - x1) = -2k x1 + k x2
Para a massa 2:
mddot x2 = k(x1 - x2) + k(x3 - x2) = k x1 - 2k x2 + k x3
Para a massa 3:
mddot x3 = k(x2 - x3) - k x3 = k x2 - 2k x3

Passo 3

Procuramos soluções harmônicas do tipo . Substituindo em cada equação e dividindo por , obtemos o sistema
odnde a matriz é a que define o problema de autovalores.

Passo 4

Para encontrar as frequências, resolvemos det(M-omega^2 I)=0. Isso equivale a achar os autovalores
lambdaj da matriz sem dimensão:
2-lambda & -1 & 0 -1 & 2-lambda & -10 & -1 & 2-lambda=0

Passo 5

Usando o resultado geral para cadeias com N=3 massas e extremos fixos, os autovalores são
lambdaj=2l(1-cosjpiN+1r), j=1,2,3
Logo:
lambda1=2-raiz2, lambda2=2, lambda3=2+raiz2

Passo 6

As frequências normais seguem omegaj=raiztfrackm,lambdaj. Assim:
omega1=raizkm(2-raiz2), omega2=raiz2km, omega3=raizkm(2+raiz2)

Passo 7

Os modos normais são dados pelos autovetores cujos componentes satisfazem
Ai^(j)proptosinl(i,jpi/(N+1)r). Para N=3 isso dá:
A1proptotfracraiz221tfracraiz22, A2propto10-1, A3proptotfracraiz22-1tfracraiz22

Resposta

Frequências normais:
omega1=raizkm(2-raiz2), omega2=raiz2km, omega3=raizkm(2+raiz2)
Modos normais (não normalizados):
A1proptotfracraiz221tfracraiz22, A2propto10-1, A3proptotfracraiz22-1tfracraiz22

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