Calcule o módulo de elasticidade de um fio de alumínio de 4,10 \mathrm{~cm} de diâmetro que é submetido a uma tração de 5530 Kgf , e que passa do comprimento 7 m para 7,02 \mathrm{~m}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um fio de alumínio de diâmetro inicial \,d=4,10\text{ cm}, comprimento inicial \,L_{0}=7{,}00\text{ m} que, submetido a uma força de tração \,F=5530\text{ kgf}, alonga-se até L=7{,}02\text{ m}. O objetivo é calcular o módulo de elasticidade (módulo de Young) E, que é definido como a razão entre tensão normal (stress) e deformação uniaxial (strain):
E = \frac{\sigma}{\varepsilon}.

Passo 2

Primeiro, vamos converter unidades e calcular a área da seção transversal. Convertendo o diâmetro para metros:
d = 4{,}10\text{ cm} = 0{,}0410\text{ m}.
O raio é \,r = d/2 = 0{,}0205\text{ m}. A área circular é
A = \pi r^{2} = \pi \,\bigl(0{,}0205\bigr)^{2} \approx 1{,}32\times10^{-3}\text{ m}^{2}.

Passo 3

Agora convertemos a força de \,\text{kgf} para newtons (1 kgf =9{,}80665 N) e calculamos a tensão normal
F = 5530\text{ kgf}\times9{,}80665\frac{\text{N}}{\text{kgf}} \approx 5{,}4230\times10^{4}\text{ N},
\sigma = \frac{F}{A} = \frac{5{,}4230\times10^{4}}{1{,}32\times10^{-3}} \approx 4{,}11\times10^{7}\text{ Pa}.

Passo 4

A deformação uniaxial é a razão entre o alongamento \,\Delta L=L-L_{0} e o comprimento inicial:
\Delta L = 7{,}02 - 7{,}00 = 0{,}02\text{ m},
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_{0}} = \frac{0{,}02}{7{,}00} \approx 2{,}857\times10^{-3}.

Passo 5

Finalmente, o módulo de Young é
E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{4{,}11\times10^{7}}{2{,}857\times10^{-3}} \approx 1{,}44\times10^{10}\text{ Pa}.

Resposta

E \approx 1{,}44\times10^{10}\,\mathrm{Pa}.

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