Calcule o módulo de elasticidade de um fio de alumínio de 3,0 \mathrm{~cm} de diâmetro que é submetido a uma tração de 2480 Kgf , e que passa do comprimento 7 m para 7,04 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede o módulo de elasticidade (módulo de Young) de um fio de alumínio. Sabemos que
– o diâmetro do fio é d=3{,}0\:\mathrm{cm},
– a força de tração aplicada é F=2480\:\mathrm{kgf},
– o comprimento inicial é L_{0}=7{,}00\:\mathrm{m} e o comprimento final L=7{,}04\:\mathrm{m}.
Para calcular o módulo de Young E precisamos da relação
E = \frac{\text{tensão}}{\text{deformação}} = \frac{\sigma}{\varepsilon},ãçã
onde \sigma = F/A é a tensão (stress) e \varepsilon = \Delta L / L_{0} é a deformação (strain).

Passo 2

Calcular a área da secção transversal do fio, que é circular com diâmetro d. Primeiro obtemos o raio:
r = \frac{d}{2} = \frac{3{,}0\:\mathrm{cm}}{2} = 1{,}5\:\mathrm{cm}.
A área em centímetros quadrados é
A = \pi r^{2} = \pi\,(1{,}5\:\mathrm{cm})^{2} = \pi \times 2{,}25\:\mathrm{cm}^{2} \approx 7{,}07\:\mathrm{cm}^{2}.
Para usar o SI, convertemos \mathrm{cm}^{2} em \mathrm{m}^{2}:
1\:\mathrm{cm}^{2} = 10^{-4}\:\mathrm{m}^{2} \quad\Longrightarrow\quad A \approx 7{,}07\times10^{-4}\:\mathrm{m}^{2}.

Passo 3

Converter a força de \mathrm{kgf} para newton e calcular a tensão \sigma.
Sabendo que 1\:\mathrm{kgf}=9{,}8\:\mathrm{N},
F = 2480\:\mathrm{kgf}\times9{,}8\:\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kgf}} = 24304\:\mathrm{N}.
Então
\sigma = \frac{F}{A} = \frac{24304\:\mathrm{N}}{7{,}07\times10^{-4}\:\mathrm{m}^{2}} \approx 3{,}44\times10^{7}\:\mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular a deformação \varepsilon, que é a variação relativa de comprimento:
\Delta L = L - L_{0} = 7{,}04\:\mathrm{m} - 7{,}00\:\mathrm{m} = 0{,}04\:\mathrm{m},
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_{0}} = \frac{0{,}04\:\mathrm{m}}{7{,}00\:\mathrm{m}} \approx 5{,}71\times10^{-3}.

Passo 5

Por fim, o módulo de Young é
E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{3,44\times10^{7}\:\mathrm{Pa}}{5,71\times10^{-3}} \approx 6,02\times10^{9}\:\mathrm{Pa}.

Resposta

O módulo de elasticidade do fio de alumínio é aproximadamente
E \approx 6{,}0\times10^{9}\:\mathrm{Pa}.

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