Calcule o módulo do produto vetorial usando a propriedade |\vec{u} \times \vec{v}|=|\vec{u}| \cdot|\vec{v}| \cdot \operatorname{sen}(\theta) nos casos:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=(1,0,8) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(0,1,5)

Passo 1

O enunciado pede o módulo do produto vetorial de \vec{u}=(1,0,8) e \vec{v}=(0,1,5) usando a fórmula
|\vec{u}\times\vec{v}| = |\vec{u}|\;|\vec{v}|\;\operatorname{sen}(\theta),
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Para isso, vamos precisar de |\vec{u}|, de |\vec{v}| e de \operatorname{sen}(\theta), que encontramos via produto escalar.

Passo 2

Calcular as normas e o cosseno do ângulo.
|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 8^2} = \sqrt{65}, \qquad |\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{26},
\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot0 + 0\cdot1 + 8\cdot5 = 40,
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\cos(\theta) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\;|\vec{v}|} = \frac{40}{\sqrt{65}\,\sqrt{26}} = \frac{40}{\sqrt{1690}} = \frac{40}{13\sqrt{10}} = \frac{40}{13\sqrt{10}}\times\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{40\sqrt{10}}{130} = \frac{4\sqrt{10}}{13}.

Passo 3

Determinar \operatorname{sen}(\theta) usando \operatorname{sen}^2(\theta)=1-\cos^2(\theta).
\cos^2(\theta) = \Bigl(\frac{4\sqrt{10}}{13}\Bigr)^2 = \frac{160}{169},
\operatorname{sen}^2(\theta) = 1 - \frac{160}{169} = \frac{9}{169}, \quad \operatorname{sen}(\theta) = \frac{3}{13}\quad(\text{ângulo em }[0,\pi]).â

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do módulo do produto vetorial:
|\vec{u}\times\vec{v}| = |\vec{u}|\;|\vec{v}|\;\operatorname{sen}(\theta) = \sqrt{65}\,\sqrt{26}\,\frac{3}{13} = \sqrt{1690}\,\frac{3}{13} = 13\sqrt{10}\,\frac{3}{13} = 3\sqrt{10}.

Resposta

3\sqrt{10}

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