Calcule o módulo do produto vetorial usando a propriedade |\vec{u} \times \vec{v}|=|\vec{u}| \cdot|\vec{v}| \cdot \operatorname{sen}(\theta) nos casos:
\overrightarrow{\mathrm{a}}=(-1,-2,-3) e \overrightarrow{\mathrm{b}}=(-4,-3,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o módulo do produto vetorial entre \vec{a}=(-1,-2,-3) e \vec{b}=(-4,-3,1) usando a propriedade
|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\operatorname{sen}(\theta),
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Vamos usar a forma equivalente
|\vec{a}\times\vec{b}|=\sqrt{|\vec{a}|^{2}\,|\vec{b}|^{2}-(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}},
pois assim não precisamos determinar \theta explicitamente.

Passo 2

Calculamos o comprimento de \vec{a}:
|\vec{a}|=\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-3)^{2}} =\sqrt{1+4+9} =\sqrt{14}.

Passo 3

Calculamos o comprimento de \vec{b}:
|\vec{b}|=\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}+1^{2}} =\sqrt{16+9+1} =\sqrt{26}.

Passo 4

Calculamos o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b}:
\vec{a}\cdot\vec{b} =(-1)(-4)+(-2)(-3)+(-3)(1) =4+6-3 =7.

Passo 5

Aplicamos a fórmula do módulo do produto vetorial:
|\vec{a}\times\vec{b}| =\sqrt{|\vec{a}|^{2}\,|\vec{b}|^{2}-(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}} =\sqrt{(\sqrt{14})^{2}\,(\sqrt{26})^{2}-7^{2}} =\sqrt{14\cdot26-49} =\sqrt{364-49} =\sqrt{315} =3\sqrt{35}.

Resposta

O módulo do produto vetorial é 3\sqrt{35}.

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