Calcule o módulo do produto vetorial usando a propriedade |\vec{u} \times \vec{v}|=|\vec{u}| \cdot|\vec{v}| \cdot \operatorname{sen}(\theta) nos casos:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=(1,4,-1) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(2,-2,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o módulo do produto vetorial de \vec{u}=(1,4,-1) e \vec{v}=(2,-2,0) usando a fórmula
|\vec{u}\times\vec{v}| = |\vec{u}|\;|\vec{v}|\;\sin(\theta),
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Vamos precisar de |\vec{u}|, |\vec{v}| e de \sin(\theta).

Passo 2

Calcular as normas de \vec{u} e \vec{v}:
|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2},
|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

Passo 3

Para achar \sin(\theta), usamos o produto escalar para obter \cos(\theta):
\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot2 + 4\cdot(-2) + (-1)\cdot0 = 2 - 8 + 0 = -6,
\cos(\theta) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\;|\vec{v}|} = \frac{-6}{(3\sqrt{2})(2\sqrt{2})} = \frac{-6}{12} = -\tfrac12.
Como \sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta), segue
\sin(\theta) = \sqrt{1 - \bigl(-\tfrac12\bigr)^2} = \sqrt{1 - \tfrac14} = \sqrt{\tfrac34} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do produto vetorial:
|\vec{u}\times\vec{v}| = (3\sqrt{2})\,(2\sqrt{2})\;\frac{\sqrt{3}}{2} = \bigl(3\cdot2\cdot2\bigr)\,\frac{\sqrt{3}}{2} = 12\;\frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}.

Resposta

6\sqrt{3}

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