Calcule o módulo do produto vetorial usando a propriedade |\vec{u} \times \vec{v}|=|\vec{u}| \cdot|\vec{v}| \cdot \operatorname{sen}(\theta) nos casos:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=(1,3,1) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(4,2,1)

Passo 1

O enunciado pede o módulo do produto vetorial entre \vec u=(1,3,1) e \vec v=(4,2,1) usando
\lvert \vec u\times \vec v\rvert \;=\;\lvert \vec u\rvert\;\lvert \vec v\rvert\;\sin(\theta),
onde \theta é o ângulo entre \vec u e \vec v. Para isso, vamos calcular as normas de \vec u e \vec v, o produto escalar \vec u\cdot\vec v, daí obter \cos(\theta) e \sin(\theta), e por fim o módulo do produto vetorial.

Passo 2

Calcular as normas:
\lvert \vec u\rvert = \sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{11},
\lvert \vec v\rvert = \sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{21}.

Passo 3

Calcular o produto escalar e o cosseno do ângulo:
\vec u\cdot\vec v = 1\cdot4 + 3\cdot2 + 1\cdot1 = 11,
\cos(\theta) = \frac{\vec u\cdot\vec v}{\lvert \vec u\rvert\,\lvert \vec v\rvert} = \frac{11}{\sqrt{11}\,\sqrt{21}} = \frac{11}{\sqrt{231}}.

Passo 4

Obter \sin(\theta) via a relação pitagórica:
\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} = \sqrt{1 - \frac{121}{231}} = \sqrt{\frac{231 - 121}{231}} = \sqrt{\frac{110}{231}} = \sqrt{\frac{10}{21}}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do módulo do produto vetorial:
\lvert \vec u\times \vec v\rvert = \lvert \vec u\rvert\,\lvert \vec v\rvert\,\sin(\theta) = \sqrt{11}\,\sqrt{21}\,\sqrt{\frac{10}{21}} = \sqrt{11 \times 10} = \sqrt{110}.

Resposta

\sqrt{110}

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