Calcule o produto misto \vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c}) nos casos abaixo:
\vec{a}=(1,4,5), \vec{b}=(2,3,2) e \vec{c}=(1,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto misto \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}), que em coordenadas é equivalente a um determinante de ordem 3 ou à projeção de \vec{a} sobre o vetor \vec{b}\times\vec{c}. Para resolver, vamos primeiro determinar \vec{b}\times\vec{c} e depois fazer o produto escalar com \vec{a}.

Passo 2

Usamos a fórmula do produto vetorial para \vec{b}=(2,3,2) e \vec{c}=(1,2,-1):
\vec{b}\times\vec{c} = \bigl(b_y c_z - b_z c_y,\;b_z c_x - b_x c_z,\;b_x c_y - b_y c_x\bigr).
Substituindo,
\vec{b}\times\vec{c} = \bigl(3\cdot(-1) - 2\cdot2,\;2\cdot1 - 2\cdot(-1),\;2\cdot2 - 3\cdot1\bigr) = (-7,\,4,\,1).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec{a}=(1,4,5) com o vetor acima:
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = 1\cdot(-7) + 4\cdot4 + 5\cdot1 = -7 + 16 + 5 = 14.

Resposta

14

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