Calcule o módulo das seguintes expressões:
d) |1-\sqrt{3}|=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o módulo (valor absoluto) da expressão \,1-\sqrt{3}\,. Informação disponível: trata-se de números reais e \sqrt{3} é a raiz quadrada positiva de 3. Não há outras condições.

Passo 2

Definição usada (o que é módulo/valor absoluto): para qualquer número real \,x\), \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x < 0. \end{cases}
Isto significa que o módulo de um número é sempre não negativo; se o número já for não negativo, o módulo é ele mesmo, caso contrário é o oposto (multiplica-se por (-1]).]

Passo 3

Precisamos saber o sinal de \,1-\sqrt{3}\,. Compare \,1 e \sqrt{3}. Observação: \sqrt{3} é maior que 1 porque 1^2=1<3, logo \sqrt{3}>1. Podemos também ver que 1{,}7^2=2{,}89<3 e 1{,}8^2=3{,}24>3, portanto \sqrt{3}\approx1{,}732, reforçando que \sqrt{3}>1.

Passo 4

Como \sqrt{3}>1, temos \,1-\sqrt{3}<0. Pela definição do módulo (Passo 2), quando o argumento é negativo vale a segunda linha da definição. Assim:
\lvert 1-\sqrt{3}\rvert = -(1-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-1.

Passo 5

Se quiser uma aproximação decimal, usando \sqrt{3}\approx1{,}73205 obtemos
\lvert 1-\sqrt{3}\rvert \approx 1{,}73205-1 = 0{,}73205\ldots
Mas a forma exata e mais elegante é \sqrt{3}-1. Força aí — você já ganhou tempo: é curto e direto!

Resposta

\sqrt{3}-1

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