Calcule o módulo das seguintes expressões:
c) \forall a \in \mathbb{R},|-5 a|=

Passo 1

O enunciado pede para calcular, para todo a\in\mathbb{R}, o valor do módulo da expressão |-5a|.
Informações dadas:
  • A variável a é um número real, ou seja, a\in\mathbb{R}.
  • A expressão a avaliar é |-5a|.
    O objetivo é encontrar uma expressão equivalente, válida para todo a\in\mathbb{R}.

Passo 2

Lembrete sobre definição de módulo (valor absoluto): para qualquer x\in\mathbb{R}\), \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Uma propriedade muito útil do módulo é que ele é multiplicativo: para quaisquer x,y\in\mathbb{R}\], \[|xy| = |x|\,|y|.\] Vou usar essa propriedade porque ela simplifica muito expressões do tipo \(|k\cdot a|.]

Passo 3

Aplicando a propriedade multiplicativa ao caso em questão:
|-5a| = |-5|\,|a|.
Aqui usei x=-5 e y=a na identidade |xy|=|x|\,|y|.

Passo 4

Calcular |-5|: como -5<0, pela definição do módulo
|-5| = -(-5) = 5.
Substituindo no resultado anterior obtemos
|-5a| = 5\,|a|.

Passo 5

Verificação por casos (para ficar seguro e ver que dá certo em todas as situações):
  • Se a\ge 0, então |a|=a e -5a\le 0, logo |-5a| = -(-5a)=5a=5|a|.
  • Se a<0, então |a|=-a e -5a>0, logo |-5a| = -5a = 5(-a)=5|a|.
    Em ambos os casos o resultado é 5|a|, como encontrado.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se a=2: |-5\cdot 2| = |-10| = 10 = 5|2|.
  • Se a=-3: |-5\cdot(-3)| = |15| = 15 = 5|{-3}|.

Resposta

5|a|

Exercícios relacionados