Calcule o módulo das seguintes expressões:
f) \forall a, b \in \mathbb{Z},|a-b|^{2}=

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o módulo (valor absoluto) da expressão para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}. Ou seja, encontrar uma forma explícita para
|a-b|^{2}.
As informações dadas são apenas que a e b são inteiros, sem outras restrições.

Passo 2

Lembrete sobre módulo (valor absoluto). Para qualquer número real x\) a definição do valor absoluto é \[|x|= \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -\,x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Uma propriedade importante e muito útil é que, para todo x\in\mathbb{R}\], \[|x|^{2}=x^{2}.\] Explicação rápida: se \(x\ge0 então |x|=x e |x|^{2}=x^{2}; se x<0 então |x|=-x e |x|^{2}=(-x)^{2}=x^{2}. Em ambos os casos o quadrado do módulo é igual ao quadrado do próprio número.]

Passo 3

Aplique a propriedade anterior ao caso x=a-b. Como a-b é um número real (na verdade inteiro), vale
|a-b|^{2}=(a-b)^{2}.

Passo 4

Agora expandimos o quadrado da diferença usando a identidade algébrica básica (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}. Fazer a multiplicação passo a passo:
(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a\cdot a - a\cdot b - b\cdot a + b\cdot b.
Como a\cdot b=b\cdot a, os termos do meio somam -a b - b a = -2ab. Portanto
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

Passo 5

Resumo didático curto: primeiro usei que |x|^{2}=x^{2} para x=a-b, obtendo |a-b|^{2}=(a-b)^{2}, e em seguida expandi o quadrado para escrever em termos de a e b.

Resposta

|a-b|^{2}=(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

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