2- Calcule o momento de inércia de um aro circular de raio R e massa m . Considerando um referencial que passa pelo centro do aro, perpendicular ao plano do aro.

Passo 1

O problema pede o momento de inércia de um aro circular fino de raio (R) e massa (m), em relação a um eixo que passa pelo centro do aro e é perpendicular ao seu plano. Vamos usar a definição de momento de inércia para um corpo contínuo:
I = \int r^2\,dm
onde r é a distância de cada elemento de massa dm até o eixo de rotação.

Passo 2

Como o aro é fino e homogêneo, distribuído ao longo de seu comprimento 2\pi R, definimos a densidade linear:
\lambda = \frac{m}{2\pi R}.
Assim, um elemento de massa no aro é dado por
dm = \lambda\,dl = \lambda\,R\,d\theta,
onde d\theta é um ângulo infinitesimal.

Passo 3

Em todo ponto do aro, a distância até o eixo é constante e igual a R. Logo,
I = \int r^2\,dm = \int R^2\,dm = R^2\int dm = R^2\,m.

Resposta

I = m\,R^2.

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