A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x é dada por x=9,75+1,50 t^{3}, em que t é dado em segundos e x em centímetros. Calcule a velocidade média nos seguintes intervalos de tempo (simétricos em relação a \mathrm{t}=3,00 \mathrm{~s} ):
2,95 a 3,05 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo x como
x(t) = 9,75 + 1,50\,t^3
com x em centímetros e t em segundos, e pede a velocidade média no intervalo simétrico em torno de t=3{,}00\mathrm{\,s}, isto é, de t_1=2,95\mathrm{\,s} até t_2=3,05\mathrm{\,s}. Vamos usar a definição de velocidade média
\bar v = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}.

Passo 2

Calcular x(3,05). Primeiro elevamos 3,05 ao cubo:
3,05^2 = 9,3025,\quad 3,05^3 = 9,3025 \times 3,05 = 28,372625.
Então
x(3,05) = 9,75 + 1,50 \times 28,372625 = 9,75 + 42,5589375 = 52,3089375\text{ cm}.

Passo 3

Calcular x(2,95). Primeiro elevamos 2,95 ao cubo:
2,95^2 = 8,7025,\quad 2,95^3 = 8,7025 \times 2,95 = 25,672375.
Logo
x(2,95) = 9,75 + 1,50 \times 25,672375 = 9,75 + 38,5085625 = 48,2585625\text{ cm}.

Passo 4

Com os valores de posição, calculamos
\Delta x = x(3,05) - x(2,95) = 52,3089375 - 48,2585625 = 4,050375\text{ cm},
\Delta t = 3,05 - 2,95 = 0,10\text{ s},
\bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4,050375\text{ cm}}{0,10\text{ s}} = 40,50375\text{ cm/s}.

Resposta

A velocidade média no intervalo de 2,95\mathrm{\,s} a 3,05\mathrm{\,s} é aproximadamente 40,5\mathrm{\,cm/s}.

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