Calcule o momento de inércia de um fio homogêneo (densidade constante), com a forma de uma circunferência de raio R, em torno de um diâmetro.

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é calcular o momento de inércia de um fio que tem a forma de uma circunferência com raio e densidade constante. Basicamente, o momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação, que nesse caso é um dos diâmetros da circunferência. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente integrais, e entender como distribuir a massa ao redor do eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele é dado pela fórmula:
I = integral r^2 , dm
Aqui, é a distância de um elemento de massa até o eixo de rotação. No nosso caso, o eixo de rotação é o diâmetro da circunferência. Como o fio é homogêneo (de densidade constante), podemos expressar como , onde é a densidade linear (massa por unidade de comprimento) e é um pequeno pedaço do fio.

Passo 3

Vamos parametrizar a circunferência usando coordenadas polares. Seja x = R costheta y = R sintheta o ângulo que define a posição de um ponto na circunferência. As coordenadas de qualquer ponto no fio são:
Como estamos girando em torno do diâmetro, digamos que seja o eixo , a distância de cada ponto ao eixo é a coordenada , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na fórmula do momento de inércia:
I = integral r^2 , dm = integral (R sintheta)^2 cdot lambda R dtheta
A densidade linear I = lambda R^3 integral0^2pi sin^2theta , dtheta = M2pi R^2 cdot pi = 12 M R^2 , onde é a massa total do fio. Substituindo na integral:

Resposta

O momento de inércia do fio em torno de um diâmetro é .

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