Calcule o momento de inércia de um fio homogêneo (densidade constante), com a forma de uma circunferência de raio
, em torno de um diâmetro.
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é calcular o momento de inércia de um fio que tem a forma de uma circunferência com raio
e densidade constante. Basicamente, o momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação, que nesse caso é um dos diâmetros da circunferência. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente integrais, e entender como distribuir a massa ao redor do eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele é dado pela fórmula:
Aqui,
é a distância de um elemento de massa
até o eixo de rotação. No nosso caso, o eixo de rotação é o diâmetro da circunferência. Como o fio é homogêneo (de densidade constante), podemos expressar
como
, onde
é a densidade linear (massa por unidade de comprimento) e
é um pequeno pedaço do fio.
Passo 3
Vamos parametrizar a circunferência usando coordenadas polares. Seja
o ângulo que define a posição de um ponto na circunferência. As coordenadas de qualquer ponto no fio são:
Como estamos girando em torno do diâmetro, digamos que seja o eixo
, a distância
de cada ponto ao eixo é a coordenada
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na fórmula do momento de inércia:
A densidade linear
, onde
é a massa total do fio. Substituindo na integral:
Resposta
O momento de inércia do fio em torno de um diâmetro é
.