Encontre o limite. Use a Regra de LHôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, useo. Se a Regra de LHôspital não for aplicável, explique por quê.
lim x 2 x^2+x-6x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto 2 x^2+x-6x-2. O conteúdo é limite de função que resulta numa forma indeterminada 0/0 quando substituímos diretamente x=2. Para resolver podemos usar fatoração (método elementar) ou, se preferir, a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a forma indeterminada. Substituindo x=2 no numerador temos: 2^2+2-6 = 4+2-6 = 0. No denominador: 2-2 = 0. Portanto, a expressão é do tipo 0/0, o que justifica tanto o uso de fatoração quanto a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos usar fatoração, que é mais rápido aqui. Note que
x^2+x-6 = (x+3)(x-2)

Passo 4

Assim
x^2+x-6x-2 = (x+3)(x-2)x-2 = x+3 (xneq 2)

Passo 5

Para o limite, podemos agora substituir x=2 na expressão simplificada:
limxto 2(x+3) = 2+3 = 5

Resposta

5

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