Calcule o momento de inércia de um fio hornogêneo (densidade constante), com a forma de uma circunferência de raio R, em torno de um diâmetro.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um fio homogêneo de massa total M e raio R disposto em uma circunferência, medido em torno de um diâmetro. O conteúdo envolve momento de inércia de um anel e uso da definição I=integral rperp^2,dm.

Passo 2

Como o fio é homogêneo, definimos a densidade linear lambda = dfracM2pi R. Um elemento de massa ao longo do arco, de comprimento ds, é
dm = lambda,ds = lambda,R,dtheta

Passo 3

Escolhemos o eixo de rotação como o diâmetro horizontal (eixo x). Um elemento localizado no ângulo theta tem coordenadas (x,y)=(Rcostheta,,Rsintheta), logo a distância perpendicular até o eixo é y=Rsintheta.

Passo 4

Aplicamos a definição de momento de inércia:
I = integral rperp^2,dm = integral (Rsintheta)^2,(lambda R,dtheta) = lambda R^3 integral0^2pisin^2theta,dtheta

Passo 5

Calculamos a integral trigonométrica:
integral0^2pisin^2theta,dtheta = pi
Portanto,
I = lambda R^3,pi

Passo 6

Substituindo lambda = dfracM2pi R obtém-se
I = l(M2pi Rr)R^3pi = 12MR^2

Resposta

I=tfrac12,M,R^2

Exercícios relacionados