Dado que 3 cos ^2 x-4 cos x+1=0 e 0, determine o valor de sen x. (Sugestão: Substitua cos x por y.)

Passo 1

Estamos resolvendo a equação 3cos^2 x - 4cos x + 1 = 0 no intervalo 0 < x < pi2. O conteúdo principal é resolver uma equação quadrática em cos x e depois usar a identidade pitagórica para achar sin x. Vamos substituir y = cos x.

Passo 2

Substituindo y na equação, temos
3y^2 - 4y + 1 = 0
Para resolver essa quadrática, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
y = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 3 cdot 12 cdot 3 = 4 pm 26

Passo 3

Assim, as raízes são y1 = 4 + 26 = 1 e y2 = 4 - 26 = 13.
No intervalo 0 < x < pi2, cos x cai em (0,1). A raiz y=1 corresponderia a x=0, que não está incluído, então ficamos com cos x = tfrac13.

Passo 4

Para encontrar sin x, usamos a identidade
sin^2 x + cos^2 x = 1

Passo 5

Substituindo cos x = tfrac13,
sin x = raiz1 - l(tfrac13r)^2 = raiztfrac89 = 2raiz23, e escolhemos o sinal positivo porque x está no primeiro quadrante.

Resposta

2raiz23

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