Determine se o campo vetorial F é conservativo. Se for, ache uma função potencial para o campo vetorial seguinte:
F(x, y, z)=1y i-xy^2 j+(2 z-1) k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o campo vetorial $ F(x, y, z) = \frac{1}{y} \mathbf{i} - \frac{x}{y^{2}} \mathbf{j} + (2z - 1) \mathbf{k} $ é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial para ele. Isso está relacionado ao estudo dos campos vetoriais em cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele puder ser escrito como o gradiente de alguma função escalar. Ou seja, existe uma função $ \phi(x, y, z) $ tal que $ F = \nabla \phi phi(x, y, z) éé \nabla \times F $) e ver se é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de $ F $. O rotacional de um campo vetorial $ F = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k} $ é dado por:
F
Para o nosso campo:
F = Pi + Qj + Rk

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  • Componente $ \mathbf{i} $:
i
  • Componente $ \mathbf{j} $:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = partial (2z - 1)partial y - partial ( -xy^2 )partial z = 0 - 0 = 0
  • Componente $ \mathbf{k} $:
j

Passo 5

Como todas as componentes do rotacional são zero, temos que $ \nabla \times F = 0 $. Isso significa que o campo $ F $ é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que $ F $ é conservativo, vamos encontrar uma função potencial $ \phi(x, y, z) $ tal que $ F = \nabla \phi $. Isso significa que:
F

Passo 7

Vamos integrar $ \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{1}{y} $ em relação a $ x $:
partial phipartial x = 1y
Aqui, $ h(y, z) $ é uma função que pode depender de $ y $ e $ z $.

Passo 8

Agora, derivamos $ \phi $ em relação a $ y $ e igualamos a $ -\frac{x}{y^{2}} $:
phi
Isso implica que $ \frac{\partial h}{\partial y} = 0 $, então $ h $ não depende de $ y $. Portanto, $ h = h(z) $.

Passo 9

Finalmente, derivamos $ \phi $ em relação a $ z $ e igualamos a $ 2z - 1 $:
phi
Integrando em relação a $ z $:
z
onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

Portanto, o campo vetorial $ F $ é conservativo e uma função potencial para ele é:
F
onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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