Determine se o campo vetorial
é conservativo. Se for, ache uma função potencial para o campo vetorial seguinte:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o campo vetorial $ F(x, y, z) = \frac{1}{y} \mathbf{i} - \frac{x}{y^{2}} \mathbf{j} + (2z - 1) \mathbf{k} $ é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial para ele. Isso está relacionado ao estudo dos campos vetoriais em cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele puder ser escrito como o gradiente de alguma função escalar. Ou seja, existe uma função $ \phi(x, y, z) $ tal que $ F = \nabla \phi
\nabla \times F $) e ver se é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de $ F $. O rotacional de um campo vetorial $ F = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k} $ é dado por:
Para o nosso campo:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente $ \mathbf{i} $:
- Componente $ \mathbf{j} $:
- Componente $ \mathbf{k} $:
Passo 5
Como todas as componentes do rotacional são zero, temos que $ \nabla \times F = 0 $. Isso significa que o campo $ F $ é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que $ F $ é conservativo, vamos encontrar uma função potencial $ \phi(x, y, z) $ tal que $ F = \nabla \phi $. Isso significa que:
Passo 7
Vamos integrar $ \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{1}{y} $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y, z) $ é uma função que pode depender de $ y $ e $ z $.
Passo 8
Agora, derivamos $ \phi $ em relação a $ y $ e igualamos a $ -\frac{x}{y^{2}} $:
Isso implica que $ \frac{\partial h}{\partial y} = 0 $, então $ h $ não depende de $ y $. Portanto, $ h = h(z) $.
Passo 9
Finalmente, derivamos $ \phi $ em relação a $ z $ e igualamos a $ 2z - 1 $:
Integrando em relação a $ z $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
Portanto, o campo vetorial $ F $ é conservativo e uma função potencial para ele é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.