6 Calcule o momento de inércia de um fio retilíneo homogêneo de comprimento
, em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio, em função de sua massa
. Resp.
.
7 Um arame tem a forma da curva obtida ao intersetar a semiesfera
com o plano
. Sabendo que a densidade em cada ponto
é dada por
, mostre que o momento de inércia em relação ao eixo
é igual a
onde
é a massa do arame.
7 Um arame tem a forma da curva obtida ao intersetar a semiesfera
Passo 1
O enunciado
pede o momento de inércia de um fio retilíneo homogêneo de comprimento
e massa
em torno de um eixo perpendicular ao fio que passa por uma das extremidades. Para isso vamos usar a definição de momento de inércia para distribuição linear de massa:
onde
é a distância ao eixo e
a massa elementar. Como o fio é homogêneo, a densidade linear é
.
Passo 2
Escolhemos a coordenada
ao longo do fio, medindo a distância desde a extremidade onde está o eixo, de
até
. Nessa parametrização temos
Passo 3
Substituímos em
:
Passo 4
O enunciado
descreve um arame na curva obtida pela interseção da semiesfera
com o plano
. A densidade linear em cada ponto é
. Queremos o momento de inércia em relação ao eixo
:
Passo 5
A interseção é um semicírculo de raio
contido no plano
. Para parametrizar usamos um ângulo
de
a
:
logo
O elemento de comprimento é
Passo 6
Primeiro calculamos a massa total
:
Passo 7
Agora o momento de inércia:
Fazendo
,
, vai de
a
:
Passo 8
Expressando em função de
: