6 Calcule o momento de inércia de um fio retilíneo homogêneo de comprimento L, em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio, em função de sua massa M. Resp. 13 M L^2.
7 Um arame tem a forma da curva obtida ao intersetar a semiesfera x^2+y^2+z^2=16, x>0 com o plano y+z=4. Sabendo que a densidade em cada ponto (x, y, z) é dada por f(x, y, z)=x, mostre que o momento de inércia em relação ao eixo X é igual a 323 M onde M é a massa do arame.

Passo 1

O enunciado 6 pede o momento de inércia de um fio retilíneo homogêneo de comprimento L e massa M em torno de um eixo perpendicular ao fio que passa por uma das extremidades. Para isso vamos usar a definição de momento de inércia para distribuição linear de massa:
I=integral r^2,dm,
onde r é a distância ao eixo e dm a massa elementar. Como o fio é homogêneo, a densidade linear é lambda=M/L.

Passo 2

Escolhemos a coordenada s ao longo do fio, medindo a distância desde a extremidade onde está o eixo, de s=0 até s=L. Nessa parametrização temos
r=s, dm=lambda,ds =ML,ds

Passo 3

Substituímos em I=integral0^Lr^2,dm:
I =integral0^Ls^2,gl(ML,dsgr) =MLintegral0^Ls^2,ds =MLcdotL^33 =M L^23

Passo 4

O enunciado 7 descreve um arame na curva obtida pela interseção da semiesfera x^2+y^2+z^2=16,;x>0 com o plano y+z=4. A densidade linear em cada ponto é f(x,y,z)=x. Queremos o momento de inércia em relação ao eixo X:
IX=integral (y^2+z^2),dm com dm=f,ds=x,ds

Passo 5

A interseção é um semicírculo de raio 2raiz2 contido no plano y+z=4. Para parametrizar usamos um ângulo theta de -tfracpi2 a tfracpi2:
x=2raiz2costheta, u=y-zraiz2=2raiz2sintheta, v=y+zraiz2=2raiz2,
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y=u+vraiz2=2(1+sintheta), z=v-uraiz2=2(1-sintheta)
O elemento de comprimento é
ds =raizl(tfracdxdthetar)^2+l(tfracdydthetar)^2+l(tfracdzdthetar)^2,dtheta =2raiz2,dtheta

Passo 6

Primeiro calculamos a massa total M:
dm =x,ds =(2raiz2costheta),(2raiz2,dtheta) =8costheta,dtheta,
M =integral-pi2^pi28costheta,dtheta =8l[sinthetar]-pi2^pi2 =8(1-(-1))=16

Passo 7

Agora o momento de inércia:
y^2+z^2 =4l[(1+sintheta)^2+(1-sintheta)^2r] =8l(1+sin^2thetar),
IX =integral(y^2+z^2),dm =integral-pi2^pi2 8l(1+sin^2thetar)cdot8costheta,dtheta =64integral-pi2^pi2(1+sin^2theta)costheta,dtheta
Fazendo u=sintheta, du=costheta,dtheta, vai de -1 a 1:
IX =64integral-1^1(1+u^2),du =64l[u+tfracu^33r]-1^1 =64l(tfrac43-(-tfrac43)r) =5123

Passo 8

Expressando em função de M=16:
IX =5123 =323,M

Resposta

IX=323,M

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