Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
5-)
_{n \in N^{*}}
5-)
_{n \in N^{*}}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a sequência
para
, e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência quando o termo geral envolve uma potência de
. Vamos precisar usar a ideia de que, à medida que
cresce,
tende a infinito, e frações com denominador que cresce sem limite tendem a zero.
Passo 2
Observamos que, conforme
, temos
portanto o denominador
também tende a infinito. Intuitivamente, uma fração com numerador fixo
e denominador que cresce sem limite deve ficar cada vez menor, aproximando-se de zero.
Passo 3
Para tornar isso rigoroso, dividimos numerador e denominador por
, o que nos dá
Agora, quando
, temos
. Logo o quociente passa a ser
Passo 4
Podemos também notar que
para todo
e que
é decrescente, mas isso só reforça que a sequência é limitada e monótona, logo convergente. No entanto, o ponto essencial é o cálculo do limite que já mostra diretamente que
.
Resposta
A sequência
converge, e