Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
5-)
11+n^2
_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
an = 11 + n^2,
para ninN^*, e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência quando o termo geral envolve uma potência de n. Vamos precisar usar a ideia de que, à medida que n cresce, n^2 tende a infinito, e frações com denominador que cresce sem limite tendem a zero.

Passo 2

Observamos que, conforme ntoinfty, temos
n^2 to infty,
portanto o denominador 1+n^2 também tende a infinito. Intuitivamente, uma fração com numerador fixo 1 e denominador que cresce sem limite deve ficar cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 3

Para tornar isso rigoroso, dividimos numerador e denominador por n^2, o que nos dá
11+n^2 = 1n^21n^2 + 1
Agora, quando ntoinfty, temos tfrac1n^2to 0. Logo o quociente passa a ser
limntoinfty1n^21n^2+1 = 00+1 = 0

Passo 4

Podemos também notar que 0 < an <= 1 para todo n e que an é decrescente, mas isso só reforça que a sequência é limitada e monótona, logo convergente. No entanto, o ponto essencial é o cálculo do limite que já mostra diretamente que anto 0.

Resposta

A sequência l(tfrac11+n^2r)ninN^* converge, e
limntoinfty11+n^2 = 0

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