6 Calcule o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado por
e
. A densidade de massa num ponto
do sólido é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia em relação ao eixo
de um sólido cujo contorno é dado por
(um cone com vértice na origem) e
(plano horizontal). A densidade em cada ponto é
. Vamos usar coordenadas cilíndricas
e a definição
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos:
Logo o integrando fica
, e o elemento de volume é
, de modo que
Passo 3
Precisamos determinar os limites. O sólido está acima do cone
e abaixo de
. Para cada
variando de
até
,
varia de
até
, e
de
a
. Assim
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Então
Passo 5
Agora integramos em
:
Logo
e portanto