6 Calcule o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado por z=raizx^2+y^2 e z=4. A densidade de massa num ponto P do sólido é dada por f(x, y, z)=z.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia em relação ao eixo z de um sólido cujo contorno é dado por ;z=raizx^2+y^2 (um cone com vértice na origem) e ;z=4 (plano horizontal). A densidade em cada ponto é ;f(x,y,z)=z. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z) e a definição
Iz=integral triplaV l(x^2+y^2r),rho(x,y,z),dV

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos:
x^2+y^2=r^2, dV=r,dr,dtheta,dz, rho(x,y,z)=z
Logo o integrando fica (x^2+y^2),rho = r^2cdot z, e o elemento de volume é r,dr,dtheta,dz, de modo que
Iz =integraltheta=0^2pi!integral!!!integral r^2,z;l(r,dr,dz,dthetar) =integral0^2pi!integral!!!integral r^3,z,dr,dz,dtheta

Passo 3

Precisamos determinar os limites. O sólido está acima do cone z=r e abaixo de z=4. Para cada r variando de 0 até 4, z varia de r até 4, e theta de 0 a 2pi. Assim
Iz =integral0^2pi!integralr=0^4!integralz=r^4 r^3,z;dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=r^4r^3,z,dz =r^3;l[tfrac12z^2r]z=r^4 =r^3cdottfrac12(4^2-r^2) =tfrac12r^3(16-r^2)
Então
Iz =integral0^2pi!dtheta;integral0^4tfrac12r^3(16-r^2),dr =2picdottfrac12integral0^4l(16r^3-r^5r),dr =piintegral0^4(16r^3-r^5),dr

Passo 5

Agora integramos em r:
integral0^416r^3,dr =16cdotr^44|0^4 =16cdot64 =1024, integral0^4r^5,dr =r^66|0^4 =40966 =20483
Logo
integral0^4(16r^3-r^5),dr =1024-20483 =10243,
e portanto
Iz =picdot10243 =1024pi3

Resposta

Iz=1024pi3.

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