Represente as funções abaixo como série de Taylor ou de Maclaurin em x0 dado e determine 0 intervalo de convergência da série de potências obtida:
f(x)=7^x como série de Maclaurin ( x0=0 ).

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=7^x em x0=0. Isto é, queremos usar a fórmula geral
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
e depois determinar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série de potências.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas sucessivas de f. Como
f(x)=7^x=e^xln7,
temos por diferenciação em cadeia
f'(x)=ln7;e^xln7=(ln7),7^x,
f''(x)=(ln7)^2,7^x,ldots, f^(n)(x)=(ln7)^n,7^x
Em particular, em x=0,
f^(n)(0)=(ln7)^n,7^0=(ln7)^n
Logo a série de Maclaurin é
f(x)=sumn=0^infty(ln7)^nn!,x^n

Passo 3

Para o raio de convergência usamos o critério da razão em termos dos coeficientes an=(ln7)^n/n!:
limntoinfty|an+1x^n+1an x^n| =limntoinfty|ln7|;|x|n+1 =0<1 para todo real x
Como esse limite é zero para qualquer x, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin de 7^x é
7^x=sumn=0^infty(ln7)^nn!,x^n
e ela converge para todo xin(-infty,infty).

Exercícios relacionados