Calcule o momento de inércia em relação à origem da chapa
D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2=a^2
se a densidade superficial é de, com k>0.

Passo 1

Estamos lidando com o momento de inércia de uma chapa circular de raio a (região D:,x^2+y^2<= a^2) cuja densidade superficial é de. Para resolver isso, vamos usar o conceito de momento de inércia em coordenadas polares.

Passo 2

O momento de inércia em relação à origem é dado pela integral de r^2 vezes a densidade, ou seja:
I=integral duplaD (x^2+y^2),de

Passo 3

Passamos para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, então x^2+y^2=r^2, de e dA=r,dr,dtheta. A integral vira
I=integral0^2piintegral0^a r^2cdot (k,r)cdot r,dr,dtheta =kintegral0^2piintegral0^a r^4,dr,dtheta

Passo 4

Agora fazemos as integrais separadamente:
integral0^2pidtheta =2pi, integral0^ar^4,dr=a^55

Passo 5

Multiplicando os resultados, obtemos
I=ktimes 2pi times a^55=2pi k a^55

Resposta

I=2pi k a^55

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