Mostre que o momento de inércia de um disco circular homogêneo de raio a em relação a uma reta ao longo de um diâmetro é igual a
, onde
é a massa do disco.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o momento de inércia de um disco circular homogêneo de massa
e raio
em relação a um eixo que passa pelo centro e coincide com um diâmetro. O conteúdo envolvido é o momento de inércia de uma lâmina plana, para o qual vamos usar coordenadas polares, densidade superficial e a definição
.
Passo 2
A densidade superficial (massa por área) do disco é constante e vale
Passo 3
Escolhemos um sistema de coordenadas em que o eixo desejado é o eixo
. Nesse caso a distância de um ponto
ao eixo é
, então
Em coordenadas polares
temos
e o elemento de massa é
. Substituindo, fica
Passo 4
Podemos separar as integrais e extrair
:
Agora calculamos cada uma:
Passo 5
Substituindo tudo em
:
Esse é o valor do momento de inércia em relação a qualquer diâmetro do disco.
Passo 6
Como verificação alternativa (não obrigatória), pode-se usar o teorema dos eixos perpendiculares para lâminas planas: o momento em dois eixos perpendiculares no plano soma o momento em um eixo perpendicular ao plano. Para o disco homogêneo, o momento perpendicular vale
e, pela simetria, cada momento no plano vale metade disso, chegando também a
.