Mostre que o momento de inércia de um disco circular homogêneo de raio a em relação a uma reta ao longo de um diâmetro é igual a M a^24, onde M é a massa do disco.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o momento de inércia de um disco circular homogêneo de massa M e raio a em relação a um eixo que passa pelo centro e coincide com um diâmetro. O conteúdo envolvido é o momento de inércia de uma lâmina plana, para o qual vamos usar coordenadas polares, densidade superficial e a definição I=integral rperp^2,dm.

Passo 2

A densidade superficial (massa por área) do disco é constante e vale
sigma=Márea do disco=Mpi a^2 á

Passo 3

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o eixo desejado é o eixo x. Nesse caso a distância de um ponto (x,y) ao eixo é |y|, então
I=integral!Ay^2,dm
Em coordenadas polares (r,theta) temos y=rsintheta e o elemento de massa é dm=sigma,dA=sigma,r,dr,dtheta. Substituindo, fica
I=integral0^2pi!integral0^a(rsintheta)^2,l(sigma,r,dr,dthetar)

Passo 4

Podemos separar as integrais e extrair sigma:
I=sigmaintegral0^ar^3,drintegral0^2pisin^2theta,dtheta
Agora calculamos cada uma:
integral0^ar^3,dr=a^44,
integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi

Passo 5

Substituindo tudo em I:
I=Mpi a^2timesa^44timespi=M a^24
Esse é o valor do momento de inércia em relação a qualquer diâmetro do disco.

Passo 6

Como verificação alternativa (não obrigatória), pode-se usar o teorema dos eixos perpendiculares para lâminas planas: o momento em dois eixos perpendiculares no plano soma o momento em um eixo perpendicular ao plano. Para o disco homogêneo, o momento perpendicular vale tfrac12Ma^2 e, pela simetria, cada momento no plano vale metade disso, chegando também a tfracMa^24.

Resposta

M a^24

Exercícios relacionados