Calcule o momento de segunda ordem (esperança de X^2 ) para uma variável aleatória X que segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro p.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui? Recebemos o enunciado “Calcular o momento de segunda ordem (esperança de ) para uma variável aleatória que segue Bernoulli( )”. Então estamos estudando probabilidade, mais exatamente variáveis aleatórias discretas e cálculo de esperança. Para resolver isso, a gente vai precisar da definição de distribuição de Bernoulli, da fórmula da esperança de uma função de e de algumas propriedades básicas de somas.

Passo 2

Primeiro, lembra qual é a distribuição de Bernoulli( ):
Ou seja, a variável só pode valer 0 ou 1.

Passo 3

Em seguida, revisa a definição de esperança (valor esperado) de uma função E[g(X)] ;=; sumx g(x),P(X=x) para variável discreta:
E[X^2] ;=; sumxin0,1 x^2,P(X=x)
Aqui queremos . Logo:

Passo 4

Agora, só botar os valores de E[X^2] ;=; 0^2cdot P(X=0);+;1^2cdot P(X=1) (0 e 1) na soma:
E[X^2] ;=; 0^2cdot(1-p);+;1^2cdot p ;=; 0 + p ;=; p
Substituindo as probabilidades da Bernoulli:

Resposta

boxedE[X^2] = p
Pronto! O segundo momento da Bernoulli( ) é .

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