Derive a fórmula para a variância de uma variável aleatória
que segue uma distribuição binomial
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício pede: derivar a fórmula da variância de uma variável aleatória
que segue uma binomial
. Aqui o conteúdo é teoria de variância e distribuição binomial. Pra resolver, vamos usar duas coisinhas:
- representação da binomial como soma de Bernoulli independentes,
- propriedade de variância de soma de variáveis independentes, e
- saber calcular a variância de uma Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, observe que se
, dá pra escrever
onde cada
é uma variável de Bernoulli com parâmetro
(isto é,
com probabilidade
e
com probabilidade
), e todas são independentes.
Passo 3
Agora, a gente usa a propriedade fundamental de variâncias: se
e
são independentes,
No nosso caso, todas as
são independentes, então
Passo 4
Falta descobrir . Pra qualquer variável
, . No caso de
:
- ,
-
(porque só assume 0 ou 1), então .
Logo
Passo 5
Voltando para : como cada e há
termos iguais,