Derive a fórmula para a variância de uma variável aleatória X que segue uma distribuição binomial B(n, p).

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede: derivar a fórmula da variância de uma variável aleatória que segue uma binomial . Aqui o conteúdo é teoria de variância e distribuição binomial. Pra resolver, vamos usar duas coisinhas:
  1. representação da binomial como soma de Bernoulli independentes,
  2. propriedade de variância de soma de variáveis independentes, e
  3. saber calcular a variância de uma Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, observe que se X = X1 + X2 + cdots + Xn, , dá pra escrever
onde cada é uma variável de Bernoulli com parâmetro (isto é, com probabilidade e com probabilidade ), e todas são independentes.

Passo 3

Agora, a gente usa a propriedade fundamental de variâncias: se Var(Y+Z) = Var(Y) + Var(Z) e Var(X) = Varl(X1 + cdots + Xnr) = Var(X1) + cdots + Var(Xn) são independentes,
No nosso caso, todas as são independentes, então

Passo 4

Falta descobrir . Pra qualquer variável Var(Xi) = E[Xi^2] - (E[Xi])^2 = p - p^2 = p(1-p) , . No caso de :
  • ,
  • (porque só assume 0 ou 1), então .
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Passo 5

Voltando para : como cada e há Var(X) = underbracep(1-p) + cdots + p(1-p)n vezes = n,p(1-p) termos iguais,

Resposta

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